Pada bab sebelumnya kita sudah mengetahui nilai mutlak, kali ini kita akan belajar tentang persamaan linear tiga variabel. Hampir setiap hari kita menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel ini. Namun kita tidak menyadarinya, untuk itu mari kita belajar lebih lanjut mengenai sistem persamaan tiga variabel.
Daftar Isi
Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel ini sering sekali kamu gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, kamu bersama 2 teman ke toko buku untuk membeli peralatan sekolah seperti buku tulis, pena dan pensil. Namun penjaga toko memberikan cek dengan total dari belanja kamu dan dua orang teman mu.
Tentu kamu ingin tahu berapa masing-masing harga dari barang yang kalian beli. Nah dengan menggunakan sistem persamaan tiga variabel ini kamu dengan mudah untuk mengetahuinya. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan dengan tiga variabel (Sinaga dkk., 2017).
Cara penyelesaian
- Pertama pahami soal dan pertanyaan, carilah variabel-variabel pada soal cerita.
- Kedua ubahlah variabel tersebut dalam persamaan linear tiga variabel.
- Ketiga temukan nilai variabel pada persamaan linear tiga variabel dengan substitusi atau eliminasi untuk menjawab pertanyaan.
Contoh Soal
- Selesaikan sistem persamaan yang diketahi nilainya sebagai berikut !
x + 5y + 3z = 16
x – 2y + 9z = 8
2x + y – z = 7
Tentukan nilai dari x2 + 2y – 5z?
Penyelesaian:
x + 5y + 3z = 16
x = 16 – 5y – 3z……….(1)
x – 2y + 9z = 8
x = 8 + 2y – 9z…………(2)
2x + y – z = 7
y = 7 – 2x + z…………..(3)
Persamaan (1) sama dengan (2)
16– 5y – 3z = 8 + 2y – 9z
8 = 7y – 6z……………(4)
Persamaan (2) disubstitusi ke persamaan (3)
y = 7 – 2x + z
y = 7 – 2(8 + 2y – 9z) + z
y = 7 -16 – 4y + 18z + z
y = -9 -4y + 19z
5y = -9 + 19z
y = (-9+19z)/5………….(5)
Persamaan (5) disubtitusi ke persamaan (4)
8 = 7y – 6z
8 = 7(-9+19z)/5 – 6z
40 = -63 + 133z -30z
103 = 103z
z = 1
Substitusi nilai z ke persamaan (5)
y = (-9+19z)/5
y = (-9 + 19[1])/5
y = 2
Substitusi nilai y dan z ke persamaan (1)
x = 16 – 5y – 3z
x = 16 – 5[2] – 3[1]
x = 3
Nilai x, y, dan z diinput ke pertanyaan :
x2 + 2y – 5z = 32 + 2[2] – 5[1] = 8
Jadi nilai dari x2 + 2y – 5z adalah 8.
Baca juga: Nilai Mutlak
2. Bu Riani membli beras 5 kg Grade A, 2 kg grade B, dan 3 kg grade C seharga Rp 132.000,-. Di hari yang sama Bu Irma membeli beras di toko yang sama untuk 7 kg beras Grade B dan 3 Grade C seharga Rp 127.000,-. Tetangga yang lain pun membeli beras di toko yang sama dengan Bu Riani dan Bu Irma dengan harga Rp 39.000,- untuk 3 kg beras Grade B. Berapakah harga beras Grade A per kilonya?
Penyelesaian:
Agar mudah untuk dihitung, hilangkan dahulu bilangan ribuannya.
5A + 2B + 3C = 142
7B + 3C = 137
3C = 39
C = 13………………………………(1)
7B + 3C = 137 Subtitusi nilai 3C
7B + 39 = 137
7B = 98
B = 14………………………………(2)
5A + 2B + 3C = 142 Subtitusi nilai 3C
5A + 2B + 39 = 142
5A + 2B = 103 Subtitusi nilai B
5A + 2(14) = 103
5A = 75
A = 15……………………………..(3)
Jadi harga beras Grade A per kilo adalah Rp 15.000,-.
3. Bu Dewi memiliki tiga asisten rumah tangga yang bekerja bergantian setiap hari kecuali hari minggu mereka kerja bersamaan agar dapat pulang lebih awal. Aan dapat menyapu rumah bu Dewi yang luas dalam waktu 40 menit. Sementara Budi dapat menyapu seluruh rumah dalam waktu 50 menit. Jika pada hari minggu Aan, Busi dan Cecep dapat menyapu seluruh rumah dalam waktu 15 menit. Berapakah waktu yang dibutuhkan Cecep untuk menyapu seluruh rumah Bu Dewi sendirian?
Penyelesaian:
Aan = 40 menit, artinya Aan dapat menyapu 1/40 bagian dalam semenit.
Budi = 50 menit, artinya Budi dapat menyapu 1/50 bagian dalam semenit.
Cecep = ?
Aan + Budi + Cecep = 15 menit, artinya mereka bertiga dapat menyapu 1/15 bagian dalam semenit.
Berarti Cecep dapat menyapu
1/15 – (1/40) – (1/50) = (40 – 15 – 12)/600 = 13/600 bagian selama semenit.
t Cecep = 600/ 13 = 46, 15 menit
Jadi waktu yang dibutuhkan oleh cecep menyapu sendirian adalah 46,15 menit.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah suatu himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut (Sinaga dkk., 2017).
Bentuk umum persamaan linear dengan tiga variabel :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, z adalah bilangan real
nilai dari a1, b1, c1; dan a2, b2, c2; serta a3, b3, c3 tidak ketiganya 0.
Cara penyelesaian
- Pertama jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis yang menanjak (kiri bawah ke kanan atas) dan hasilnya dikurangi dengan jumlah hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis menurun (kiri atas ke kanan bawah).
- Kedua lakukan pada pembilang dan penyebut, hasil bagi dari pembilang dan penyebut adalah nilai dari x, y, z.
Contoh soal
- Selesaikan sistem persamaan yang diketahi nilainya sebagai berikut !
x – 2y + 3z = 1
3x + y + 7z = 27
6x – y – z = 12
Tentukan nilai dari 4x2 + 9y – 3z?
Penyelesaian:
Baca juga: Fungsi Kuadrat
2. Seorang penjahit membutuhkan 2 meter kain A, 1 meter kan B dan 3 kain C yang dibeli seharga Rp 106.000,- untuk membuat gorden model pertama.Sementara untuk membuat gaun dibutuhkan 2 meter kain B dan 2 meter C yang dibeli seharga Rp 64.000,- Penjahit itu membeli kain tambahan untuk pesanan tambahan yaitu 3 meter kain A, 2 Meter kain B seharga Rp 90.000,- Berapakah harga setiap meter kain A, B, dan C?
Penyelesaian:
Agar mudah untuk dihitung, hilangkan dahulu bilangan ribuannya.
2A + B + 3C = 106
0A + 2B + 2C = 64
3A + 2B + 0C = 90
3. Pak Beni memiliki taanah seluas 900 m2 yang digunakan sebagai kandang Ayam, kandang sapi dan kebun. Jika luas kandang ayam sama dengan dua kali dari kandang sapi, dan luas kebun adalah tiga kali dari kandang ayam. Berapakah luas dari masing-masing kandang ayam, kandang sapi dan kebun?
Penyelesaian:
A + S + K = 900
A = 2S
K = 3 A
Kita ubah sesuai dengan bentuk umum persamaan linear.
A + S + K = 900
A – 2S + 0 = 0
-3A + 0S + K = 0
Baca juga: Yuk Pelajari Materi Eksponensial
Pemahaman Akhir
Pada pembahasan ini, kita mempelajari tentang sistem persamaan linear tiga variabel. Sistem persamaan ini banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan tiga variabel atau lebih. Dalam pembahasan ini, kita belajar cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan metode substitusi atau eliminasi.
Metode substitusi melibatkan menggantikan salah satu variabel dalam satu persamaan dengan ekspresi dari variabel lain, kemudian menggantikan variabel yang sama dalam persamaan lainnya. Metode ini membantu kita mencari nilai-nilai variabel secara bertahap.
Metode eliminasi melibatkan mengeliminasi salah satu variabel dengan mengalikan persamaan dengan faktor yang tepat sehingga variabel tersebut dapat saling menghilangkan ketika dua persamaan dikurangkan atau ditambahkan. Dengan mengulangi langkah ini, kita dapat mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi sistem persamaan.
Dalam contoh soal yang diberikan, kita telah menyelesaikan beberapa sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan kedua metode tersebut. Kami telah menunjukkan langkah-langkah yang diperlukan untuk mencari nilai-nilai variabel dan memberikan jawaban yang sesuai dengan pertanyaan yang diajukan.
Penting untuk memahami konsep sistem persamaan linear tiga variabel dan memiliki pemahaman yang kuat tentang metode substitusi dan eliminasi. Dengan mempelajari dan berlatih dalam menyelesaikan berbagai contoh soal, kita dapat meningkatkan kemampuan kita dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan sistem persamaan linear tiga variabel.
Penggunaan matematika dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam contoh soal tentang pembelian beras, pembagian tugas rumah tangga, atau pembelian kain, menunjukkan pentingnya pemahaman tentang sistem persamaan linear tiga variabel dalam menghadapi situasi nyata. Dengan memahami konsep ini, kita dapat lebih efektif dalam mengambil keputusan dan memecahkan masalah yang melibatkan tiga atau lebih variabel.
Demikianlah penjelasan materi sistem persamaan tiga variabel dan lengkap dengan cara penyelesaian serta contoh soalnya. Dengan adanya artikel ini semoga dapat membantu kamu dalam belajar sistem persamaan tiga variabel.
Sumber:
Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
