Fungsi adalah salah satu materi yang sangat penting untuk dipelajari sebelum kamu memasuki bab lainnya, seperti turunan dan integral. Untuk itu mari kita belajar tentang fungsi, mulai dari fungsi linier, fungsi kuadrat fungsi rasional serta operasi dan fungsi komposisi dan invers.
Daftar Isi
Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi dengan variabel bebas yang berpangkat tertinggi satu. Fungsi linear dapat digambarkan dengan garis lurus. Berikut adalah bentuk umum fungsi linear :
f(x) = y = ax + b
y = variabel terikat
a = koefisien (a ≠ 0)
x = variabel bebas
b = konstanta
Contoh soal
Masukkan titik pada bentuk umum fungsi linier
y = ax + b
3 = a(0) + b
b = 3
y = ax + 3
0 = a(-3) + 3
-3 = -3a
a = 1
Fungsi linearnya adalah f(x) = y = x + 3
Buatlah titik-tik yang dilalui !
| X | Y |
| 0 | 3 |
| -1 | 2 |
| -2 | 1 |
| -3 | 0 |
Gambarlah grafik dari fungsi linear tersebut!
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi dengan variabl bebas yang berpangkat tertinggi dua. Fungsi kuadrat dapat digambarkan dengan garis lengkung. Berikut adalah bentuk umum fungsi kuadrat :
f(x) = y = ax2 + bx + c
y = variabel terikat
a dan b = koefisien (a ≠ 0)
x = variabel bebas
c = konstanta
Baca juga: Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
Sifat Fungsi Kuadrat
Grafik terbuka ke atas ketika a > 0 yang memiliki titik balik dan grafik terbuka ke bawah ketika a < 0 yang memeiliki titik puncak. Titik puncak adalah titik maksimal yang dilalui fungsi kuadrat sebelum garis menurun kembali, sedangkan titik balik adalah titik minimum yang dilalui fungsi kuadrat sebelum garis menanjak kembali.
Sumbu simetri adalah garis bayangan yang membagi grafik menjadi dua sama rata, sehingga berada di titik puncak atau titik balik x = -b/2a. Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu y pada titik (0, c). Suatu fungsi kuadrat memotong sumbu x pada saat D ≥ 0. Dimana D = b2 – 4ac untuk D > 0 maka grafik akan menyinggung sumbu x di dua titik, sementara D = 0 maka grafik akan menyinggung sumbu x di satu titik.
Contoh soal
Sebuah grafik y = x2 + mx + n memiliki titik balik (5,6). Tentukanlah m dan n!
Penyelesaian:
Masukkan titik pada rumus titik puncak
| x = -b/2a 5 = -b/2(1) b = -10 m = b = -10 | y = x2 + mx + n 6 = (5)2 -10(5) + n 6 = 25 – 50 + n n = 31 |
y = x2 – 10x + 31
Jadi m = – 10 dan n = 31.
Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah perbandingan dari dua polinomial. Fungsi rasional dapat digambarkan dengan garis lengkung yang dicerminkan. Berikut adalah bentuk umum dari fungsi rasional :
v(x) = p(x)/d(x)
d(x) ≠ 0
v(x) = bilangan real kecuali pembuat nol dari d
p dan d = polinomial.
H bertanda + untuk pergeseran ke arah sumbu x negatif dan berlaku sebaliknya,
K bertanda + untuk pergeseran ke arah sumbu y positif dan berlaku sebaliknya.
Contoh soal
Fungsi rasional f(x) = 1/x digeser ke arah sumbu x positif sejauh 5 satuan dan ke arah sumbu y negatif sejauh 3 satuan. Tentukan bentuk fungsi rasional tersebut sekarang!
Penyelesaian:
Notasi Fungsi
Fungsi adalah relasi himpunan x ke himpunan y yang menghubungkan antara setiap anggota himpunan x tepat pada satu anggota himpunan y. Berikut adalah bentuk umum fungsi :
f : x → y
f(x) adalah nilai y untuk sebuah nilai x yang diberikan, sehingga dapat dinyatakan :
f(x) = y
y adalah fungsi dari x, sehingga nilai dari y bergantung pada nilai x.
(Sinaga dkk., 2017)
Domain dan Range
Domain (Daerah asal) adalah himpunan semua bilangan real x yang membuat fungsi f terdefinisi (f anggota himpunan bilangan real).
Df = {x : x∈R}
(Sinaga dkk., 2017)
Range (Daerah hasil) adalah himpunan semua bilangan real y yang terdefinisi dengan anggota himpunan bilangan real x.
Rf = {y : y∈R}
Contoh soal
Tentukan domain dan range dari fungsi berikut !
Menggambar Sketsa Grafik Fungsi
Menggambar sketsa grafik suatu fungsi didahui dengan menemukan bentuk persamaan apakah linear, kuadrat, atau rasional. Ciri dari fungsi linear memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi satu. Ciri dari fungsi kuadrat memiliki variabel bebas berpangkat tertinggi dua.
Ciri dari fungsi rasional adalah berbentuk rasio atau perbandingan. Kemudian buatlah tabel yang berisi titik yang dilalui grafik. dari suatu fungsi. Selanjutnya hubungkan titik-titik sehingga menjadi grafik.
Baca juga: Yuk Pelajari Materi Eksponensial
Contoh soal
Gambarkan sektsa grafik fungsi dari f(x) = x2 +2 !
Penyelesaian:
f(x) = x2 +2 adalah persamaan kuadrat karena x berpangkat dua.
a = 1 > 0 maka grafik akan terbuka ke atas.
Titik balik berada pada (0, 2)
x = -b/2a = -(0)/2(1) = 0
y = x2 +2 = (0)2 +2 = 2
Buatlah tabel
| X | f(x) = y | (x, y) |
| 3 | 11 | (3, 11) |
| 2 | 6 | (2, 6) |
| 1 | 3 | (1, 3) |
| 0 | 2 | (0, 2) |
| -1 | 3 | (-1, 3) |
| -2 | 6 | (-2, 6) |
| -3 | 11 | (-3, 11) |
Gambarlah sketsa grafik fungsi dari titik-titik pada tabel !
Operasi Aljabar pada Fungsi
Jika f dan g adalah fungsi, maka Df adalah daerah asal fungsi f dan Dg adalah daerah asal fungsi g. Opeasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D f + g = Df ∩Dg
(f –g)(x) = f(x) – g(x) dengan daerah asal Df– g = Df ∩Dg
(f×g)(x) = f(x)×g(x) dengan daerah asal D f×g = Df ∩Dg
(f /g)(x) = f(x) / g(x) dengan daerah asal D f / g = Df ∩Dg – {xl g(x) = 0}.
(Sinaga dkk., 2017).
Contoh
Diketahui fungsi f(x) = x2+ 5x + 6 dan g(x) = x + 2. Tentukan fungsi-fungsi dari operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian berikut daerah asalnya !
Penjumlahan
| (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x2+ 5x + 6) + (x + 2) = x2+ 6x + 8 | D f + g = Df ∩Dg = {xl x∈R}∩{xl x∈R} = {xl x∈R} |
| (g + f)(x) = f(x) + g(x) = (x + 2) + (x2+ 5x + 6) = x2+ 6x + 8
| Dg+ f = Dg∩Df = {xl x∈R}∩{xl x∈R} = {xl x∈R}
|
Jadi fungsi penjumlahan (f + g)(x) = (g + f)(x) = x2+ 6x + 8 dengan daerah asal Df+g = Dg+ f = {xl x∈R}.
Pengurangan
| (f –g)(x) = f(x) – g(x) = (x2+ 5x + 6) – (x + 2) = x2+ 4x + 4 | Df– g = Df ∩Dg = {xl x∈R}∩{xl x∈R} = {xl x∈R} |
| (g –f)(x) = g(x) – f(x) = (x + 2) – (x2+ 5x + 6) = –x2 – 4x – 4 | Dg– f = Dg∩Df = {xl x∈R}∩{xl x∈R} = {xl x∈R} |
Jadi fungsi pengurangan (f –g)(x) = x2+ 4x + 4 dan (g –f)(x) = –x2 – 4x – 4 dengan daerah asal Df– g = Dg– f = {xl x∈R}.
Perkalian
| (f×g)(x) = f(x)×g(x) = (x2+ 5x + 6) × (x + 2) = x3 + 7x2 + 16x + 12 | D f×g = Df ∩Dg = {xl x∈R}∩{xl x∈R} = {xl x∈R} |
| (g×f)(x) = g(x)×f(x) = (x + 2)× (x2+ 5x + 6) = x3 + 7x2 + 16x + 12 | Dg×f = Dg∩Df = {xl x∈R}∩{xl x∈R} = {xl x∈R} |
Jadi fungsi perkalian (f×g)(x) = (g×f)(x) = x3 + 7x2 + 16x + 12 dengan daerah asal D f×g = Dg×f = {xl x∈R}.
Pembagian
| (f /g)(x) = f(x)/g(x) = (x2+ 5x + 6) / (x + 2) = (x + 3)(x + 2) /(x + 2) = x + 3 | D f / g = Df ∩Dg dan g(x) ≠ 0 = {xl x∈R}∩{xl x∈R dan x + 2 ≠ 0} = {xl x∈R, x ≠ -2}
|
| (g/f)(x) = g(x)/f(x) = (x + 2)/(x2+ 5x + 6) = (x + 2)/(x + 3)(x + 2) = 1/(x + 3) | Dg/ f = Dg∩Df dan f(x) ≠ 0 = {xl x∈R}∩{xlx∈R}dan (x + 3)(x + 2) ≠0} = {xl x∈R, x ≠ -3, x ≠ -2}
|
Jadi fungsi pembagian (f /g)(x) = x + 3 dengan daerah asal D f /g = {xl x∈R, x ≠-2} dan (g/f)(x) = 1/(x + 3) dengan daerah asal Dg/ f = {xl x∈R, x ≠ -3, x ≠ -2}.
Fungsi Komposisi
Jika fungsi f dan g dan Df∩Dg ≠ Ø, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis gof) yang dinyatakan dengan:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
Dgof = daerah asal fungsi komposisi f dan g = {x∈Df l f(x)∈Dg}
Df = daerah asal (domain) fungsi f;
Dg = daerah asal (domain) fungsi g
Rf = daerah hasil (range) fungsi f;
Rg = daerah hasil (range) fungsi g
(Sinaga dkk., 2017).
Contoh soal
Diketahui fungsi komposisi (fog)(x) = 21x2 + 7x – 55 dan fungsi f(x) = 7x + 1. Tentukan fungsi g(x) dan fungsi komposisi (gof)(x) !
Penyelesaian:
| (fog)(x) = f(g(x)) 21x2 + 7x – 55 = 7×g(x) + 1 21x2 + 7x – 56 = 7 × g(x) g(x) = 3x2 + x – 8
| (gof)(x) = g(f(x)) = 3(7x + 1)2 + (7x + 1) – 8 = 3(49 x2 + 14x + 1) + 7x – 7 = 147 x2 + 42x + 3 + 7x – 7 = 147 x2 + 49x – 4 |
Jadi fungsi g(x) = 3x2 +x -8 dan fungsi komposisi (gof)(x) = 147x2 + 49x – 4.
Sifat-sifat Operasi Fungsi Komposisi
Sifat komunikatif pada operasi fungsi komposisi tidak memenuhi,
(gof) ≠ (fog)
Operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif pada fungsi f, g, dan h. Jika Rh∩Dg ≠ Ø; Rgoh∩Df ≠ Ø; Rg∩Df ≠ Ø; Rh∩Dfog≠Ø.
fo(goh) = (fog)oh
Jika fungsi f, fungsi identitas I dan Rf ∩Df ≠ Ø, maka terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu
foI = Iof = f
(Sinaga dkk., 2017).
Contoh soal
Diketahui fungsi komposisi (fo(goh))(x) = 4x2 – 28x + 52, fungsi f(x) = x + 6 dan fungsi g(x) = x2 – 3. Tentukan fungsi h(x +3) !
Penyelesaian:
| (fog)(x) = (x2 – 3) + 6 = x2 + 3 (fog)(x) = x2 + 3
| (fo(goh))(x) = ((fog)oh)(x) 4x2 – 28x + 52 = (h(x))2 + 3 (h(x))2 = 4x2 – 28x + 49 (h(x))2 = (2x -7)2 h(x) = ±(2x -7) h(x) = 2x -7 atau h(x) = 7 – 2x |
| h(x) = 2x -7 h(x+3) = 2(x+3) -7 = 2x -1 | h(x) = 7 – 2x h(x +3) = 7 – 2(x+3) = 1 – 2x |
Jadi fungsi h(x +3) = 2x -1 atau h(x +3) = 1 – 2x
Fungsi Invers serta Sifat-Sifatnya
Jika fungsi f memetakan A ke B dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(x,y) lx∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f (dilambangkan f–1) adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan
f–1 = {(y,x) l y∈B dan x∈A}.
Suatu fungsi f : A → B dikatakan memiliki fungsi invers f–1 : B →A jika dan hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif.
Jika fungsi f : Df→Rf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai f–1: Rf→Df dengan kata lain f–1 adalah fungsi dari Rf ke Df.
Df = daerah asal fungsi f dan
Rf = daerah hasil fungsi f.
(Sinaga dkk., 2017).
Contoh soal
Seorang agen galon memperoleh keuntungan sesuai dengan fungsi f(x) = 5.000x + 3.000, untuk setiap x galon yang terjual. Jika keuntungan agen galon hari ini adalah 403.000,-, berapakah banyak galon yang terjual hari ini?
Penyelesaian:
f(x) = 5.000x + 3.000
403.000 = 5.000x + 3.000
400.000 = 5.000x
x = 80
Jadi ada 80 galon yang terjual hari ini.
Menemukan Rumus Fungsi Invers
Fungsi invers f–1 dari fungsi f untuk setiap x∈Df dan y∈Rf, maka berlaku :
y = f(x) jika dan hanya jika f–1 (y) = x.
Fungsi f adalah sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal Df dan daerah hasil Rf, sedangkan I(x) = x merupakan fungsi identitas. Fungsi f–1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika
(fo f—1)(x) = x = I(x) untuk setiap x∈Df, dan
(f—1of)(x) = x = I(x) untuk setiap x∈Rf
Fungsi f adalah sebuah fungsi bijektif dan f–1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f—1 adalah fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan
(f—1)-1 = f
Fungsi f dan g merupakan fungsi bijektif, maka berlaku :
(gof)-1 = (f–1og-1)
(Sinaga dkk., 2017).
Contoh soal
Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = x + 8 dan g(x) = 3x -5. Tentukan f–1, g-1, (fog)-1, dan (gof)-1!
Penyelesaian:
Pertama temukan f–1, dan g-1 dahulu. Kemudian untuk menentukan (fog)-1, dan (gof)-1 gunakan fungi invers f–1, dan g-1. Langkah ini lebih cepat dari pada menuntukan komposisi dan diinvers.
| f(x) = x + 8 y = x + 8 Ditukar antara x dan y x = y + 8 y = x – 8 f–1 = x – 8
| g(x) = 3x -5 y = 3x -5 Ditukar antara x dan y x = 3y -5 x + 5 = 3y y = (x + 5)/3 g-1 = (x + 5)/3 |
| (fog)-1 = (g–1of–1) = [(x – 8) + 5]/3 = x/3 -1 | (gof)-1 = (f–1og-1) = [(x + 5)/3] -8 = (x – 19)/3 |
Jadi f–1 = x – 8, g-1 = (x + 5)/3, (fog)-1 = x/3 -1, dan (gof)-1 = (x – 19)/3.
Baca juga: Yuk Pelajari Materi Logaritma
Pemahaman Akhir
Fungsi adalah salah satu materi yang sangat penting dalam matematika. Sebelum mempelajari bab-bab lain seperti turunan dan integral, penting untuk memahami konsep dan sifat-sifat fungsi.
Fungsi linier adalah fungsi dengan variabel bebas yang berpangkat tertinggi satu. Fungsi ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam grafik. Bentuk umum fungsi linier adalah f(x) = ax + b, di mana a dan b adalah konstanta.
Fungsi kuadrat adalah fungsi dengan variabel bebas yang berpangkat tertinggi dua. Fungsi ini dapat digambarkan sebagai garis lengkung dalam grafik. Sifat-sifat fungsi kuadrat termasuk grafik terbuka ke atas atau ke bawah tergantung pada nilai koefisien a, serta adanya titik puncak atau titik balik.
Fungsi rasional adalah perbandingan dua polinomial. Grafik fungsi rasional dapat berupa garis lengkung yang dicerminkan. Pada fungsi rasional, pergeseran grafik dapat terjadi baik ke arah sumbu x maupun sumbu y, tergantung pada nilai koefisien pergeseran.
Notasi fungsi digunakan untuk menggambarkan relasi antara himpunan x dan himpunan y. Domain adalah himpunan semua nilai x yang membuat fungsi terdefinisi, sedangkan range adalah himpunan semua nilai y yang terdefinisi melalui nilai x.
Untuk menggambar sketsa grafik fungsi, kita perlu menemukan bentuk persamaan fungsi terlebih dahulu, apakah itu fungsi linear, kuadrat, atau rasional. Kemudian, kita dapat membuat tabel yang berisi titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi tersebut dan menghubungkan titik-titik tersebut untuk membentuk grafik.
Operasi aljabar pada fungsi melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara fungsi-fungsi. Daerah asal operasi aljabar ini tergantung pada daerah asal fungsi-fungsi yang terlibat dalam operasi tersebut.
Fungsi komposisi melibatkan penggabungan dua fungsi, yaitu fungsi f dan fungsi g. Fungsi komposisi ini dinyatakan sebagai gof, di mana fungsi f diterapkan terlebih dahulu dan hasilnya menjadi masukan untuk fungsi g.
Dengan memahami konsep dan sifat-sifat fungsi, kita dapat mempelajari materi matematika lainnya secara lebih baik, seperti turunan dan integral. Fungsi-fungsi ini adalah dasar penting dalam berbagai bidang ilmu dan aplikasi matematika.
Demikianlah materi tentang fungsi, semoga kalian semua bisa memahami serta bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi. Sukses buat kita semua.
Sumber:
Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
Komentar