Home Matematika Kelas X Eksponensial: Pengertian, Bentuk dan Sifat

Eksponensial: Pengertian, Bentuk dan Sifat

Eksponen merupakan salah satu materi yang banyak penerapannya dalam kehidupan. Seperti mengetahui perkembangan bakteri dan virus. Nah sekarang mari kita pelajari lebih lanjut materi eksponen ini.

Pengertian Fungsi

eksponensial bentuk dan sifat
Sumber: Dokumentasi penulis

Fungsi eksponensial adalah pemetaan bilangan real x ke a dengan bentuk umum:

f(x) = ax

f(x) = fungsi x

a = basis bilangan berpangkat, a∈R

x = pangkat, x adalah bilangan bulat positif

Contoh soal

Tentukanlah nilai fungsi berikut untuk x = 3 !

f(x) = 1x

f(x) = 2x

f(x) = 31/x

Penyelesaian:

f(x) = 1x

f(3) = 13

= 1

 

f(x) = 2x

f(3) = 23

= 1/23

= 1/8

f(x) = 1/3x

f(3) = 1/33

= 1/27

 

Jadi nilai fungsi f(x) = 1x, f(x) = 2x, f(x) = 1/3x untuk x = 3 secara berurutan adalah 1, 1/8, dan 1/27.

Fungsi Eksponensial dan Grafiknya

Fungsi eksponensial adalah pemetaan bilangan real x ke a dengan ketentuan a > 0, a ≠ 1, x∈R. Fungsi Eksponensial dengan memiliki sifat diantaranya adalah sebagai berikut:

  • Kurva yang terletak di atas sumbu x yang berfungsi sebagai bilangan positif
  • Grafik memotong tegak lurus sumbu y hanya di titik ( 0,1 ).
  • Grafik yang menanjak pada bilangan x > 1
  • Grafik yang menurun pada bilangan 0 < x < 1.

Contoh soal

Suatu bakteri dapat berkembang biak menjadi dua kali lipat dalam satu detik. Tentukanlah bentuk fungsi, gambar dan sifatnya !

Penyelesaian:

Variabel bebas adalah waktu t dalam detik, sehingga

f(t) = 2t

Buat tabel waktu dan jumlah bakteri

t (waktu dalam detik) 0 1 2 3 4
n (jumlah bakteri) 1 2 4 8 16

 

Buatlah grafik antara waktu (detik) dan jumlah bakteri

grafik eksponensial
Sumber: Dokumentasi penulis

Sifat fungsi eksponensial f(t) = 2t adalah

  • Kurva yang terletak di atas sumbu x yang berfungsi sebagai bilangan positif
  • Grafik memotong tegak lurus sumbu y hanya di titik ( 0,1 ).
  • Grafik yang menanjak pada bilangan x > 1

Baca juga: Operasi Aljabar pada Fungsi

Bentuk Bilangan Eksponensial

Bilangan eksponensial adalah perkalian bilangan yang sama sehingga perkalian tersebut dapat berulang dengan makna yang sama sebagai singkatan dari perkalian. Jika a bilangan real dan x bilangan bulat positif, maka persaamaan eksponensial merupakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis

ax = a × a × a × a × …. × a.

a = basis bilangan berpangkat

x = pangkat

Berikut adalah beberapa bentuk bilangan eksponensial :

Bilangan eksponensial nol

Bilangan eksponensial nol adalah suatu bilangan eksponensial dengan a berpangkat nol dan bernilai sama dengan satu. Jika a bilangan real, maka :

a0 = 1

Bilangan eksponensial negatif

Bilangan eksponensial negatif adalah suatu bilangan eksponensial dengan a berpangkat negatif. Jika a bilangan real, a ≠ 0, dan x bilangan bulat positif, maka :

a-x = (1/a)x

Bilangan eksponensial pecahan

Bilangan eksponensial pecahan adalah suatu bilangan eksponensial dengan a berpangkat pecahan. Jika a bilangan real, a ≠ 0, dan x bilangan bulat positif, maka:

bilangan eksponen pecahan
Sumber: Dokumentasi penulis

 

Contoh soal

Ubahlah bilangan 1029/3, 16/128, 641/3 menjadi bentuk bilangan ekponensial yang paling sederhana !

Penyelesaian:

1029/3

= 73.3/3

= 73

16/128 = 24/27

= 1/23

= 2-3

641/3 =

= 22

Jadi bentuk sederhana dari 1029/3, 16/128, 641/3 secara berurutan adalah bilangan eksponensial 73, 2-3, dan 22.

Bentuk Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya, bilangan pokoknya, atau keduanya  memuat suatu variabel. Ada pun bentuk-bentuk persamaan eksponen yaitu :

Bentuk persamaan af(x) = 1

Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan af(x) = 1 gunakan sifat :

af(x) = 1 ⇔f(x) = 0

Bentuk persamaan af(x) = ap atau af(x) = ag(x)

Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen af(x) = ap atau af(x) = ag(x) ditentukan dengan cara menyamakan pangkat kedua ruas.

af(x) = apf(x) = p

af(x) = ag(x)f(x) = g(x)

Bentuk Persamaan af(x) = bf(x)

Jika ab ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1, maka himpunan penyelesaian persamaan eksponen af(x) = bf(x)  dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x) dengan nol.

af(x) = bf(x)f(x) = 0

Bentuk persamaan af(x) = bg(x)

Jika ab ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1, dan f(x) ≠ g(x) maka, himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen af(x) = bg(x) dengan melogaritmakan kedua ruas.

af(x) = bg(x)⇔ log af(x) = log bg(x)

Bentuk Persamaan A[af(x)]² + B[af(x)]+ C = 0

Penyelesaian persamaan eksponen untuk bentuk  persamaan kuadrat A[af(x)]² + B[af(x)]+ C = 0 dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

Bentuk persamaan f(x)g(x) = 1

Penyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk f(x)g(x) = 1 adalah :

Pertama f(x) = 1 karena bilangan satu dipangkatkan berapapun nilainya adalah satu.

Kedua f(x) = -1 untuk f(x) ≠ g(x) dengan ketentuan g(x) adalah bilangan genap positif karena minus satu dipangkatkan bilangan genap adalah satu.

Ketiga  g(x) = 0 untuk f(x) ≠ g(x) karena bilangan berpangkat berapun dipangkatkan nol adalah satu.

Baca juga: Yuk Pelajari Materi Logaritma

Bentuk persamaan f(x)g(x) = f(x)h(x)

Himpunan penyelesaian bentuk eksponen f(x)g(x) = f(x)h(x) adalah :

Pertama g(x) = h(x) karena bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya harus sama.

Kedua f(x) = 1 untuk g(x) ≠ h(x) karena bilangan satu dipangkatkan berapapun nilainya adalah satu.

Ketiga f(x) = -1 untuk g(x) ≠ h(x) dengan ketentuan g(x) dan h(x) harus sama-sama merupakan bilangan genap atau ganjil karena bilangan minus satu dipangkatkan genap sama dengan satu atau bilangan minus satu dipangkatkan ganjil sama dengan minus satu.

Keempat f(x) = 0 untuk g(x) ≠ h(x) dengan ketentuan g(x) > 0 dan h(x) > 0 karena nol dipangkatkan bilangan positif adalah sama dengan nol.

Bentuk persamaan f(x)g(x) = h(x)g(x)

Himpunan penyelesaian bentuk eksponen f(x)g(x) = h(x)g(x) adalah :

Pertama f(x) = h(x) karena pangkatnya sama, maka bilangan pokoknya harus sama.

Kedua g(x) = 0 untuk f(x) ≠ h(x), f(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0 karena bilangan real berapapun selain nol dipangkatkan nol adalah satu.

Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian untuk persamaan eksponensial berikut !

7x = 1

2x = 16

3x = 37x-1; 1x = -1x

[9x] –2[3x] + 1 = 0

2x1-x = 1; 2x1-x = 2xx+3

2x1-x = (4-x)1-x

Penyelesaian:

7x = 1

x = 0

 

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 7x = 1 adalah x = 0.

 

 

2x = 16

2x = 24

x = 4

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 2x = 16 adalah x = 4.

 

 

3x = 37x-1

x = 7x-1

1 = 6x

x = 1/6

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 3x = 37x-1 adalah x = 1/6.

 

1x = -1x

x adalah bilangan bulat genap karena minus satu dipangkatkan angka genap adalah satu.

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 1x = -1x adalah x ∈bilangan bulat genap.

[9x] –2[3x] + 1 = 0

[3x]² -2[3x]+ 1 = 0

([3x] -1)([3x]-1)

3x = 1

x = 0

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial [9x] –2[3x] + 1 = 0 adalah x = 0.

 

 

2x1-x = 1

2x/(2x)x = 1

2x = (2x)x

x = 1

atau

2x1-x = 1

1-x = 0

x = 1

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 2x1-x = 1 adalah x = 1.

2x1-x = 2xx+3

1-x = x+3

-2 = 2x

x = -1

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 2x1-x = 2xx+3 adalah x = -1.

 

 

 

2x1-x = (4-x)1-x

2x = 4 – x

3x = 4

x = 4/3

Jadi himpunan untuk persamaan eksponensial 2x1-x = (4-x)1-x adalah x = 4/3.

 

 

 

 

Sifat-Sifat Bilangan Eksponensial

Jika a bilangan real, a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka

am×an = am+n

am/an = am-n

(am)n = amn

am/n = (a1/n)m

a1/m = p à pm = a

Jika a bilangan real, a > 0, p/n, p/q dan m/n adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka (am/n)(ap/n) = a(m+p)/n

(am/n)(ap/q) = am/n + p/q

Jika a bilangan real, a > 0, p/q adalah bilangan pecahan q ≠ 0, q ≥ 2, maka

sifat eksponen 1

Contoh soal

contoh sifat eksponensial
Sumber: Dokumentasi peulis

Sifat Bilangan Eksponensial Pada Operasi Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika p, q, dan r adalah bilangan real, r ≥ 0, dengan bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama maka berlaku sifat-sifat:

sifat penjumlahan dan pengurangan
Sumber: Dokumentasi penulis

Operasi pekalian dan pembagian bentuk akar

Jika a, b, c, d bilangan real, a > 0, c > 0, d > 0, maka berlaku sifat-sifat :

sifat perkalian dan pembagian
Sumber: Dokumentasi penulis

Merasionalkan penyebut bentuk akar

merasionalkan bentuk akar
Sumber: Dokumentasi penulis

Contoh soal

Tentukanlah nilai dari

contoh rasional bentuk akar
Sumber: Dokumentasi penulis

Baca juga: Persamaan Linear Tiga Variabel

Demikianlah penjelesan dari materi eksponensial. Semoga kamu dapat belajar dari sini dan memahaminya. 


Sumber:

Sinaga, Bornok dkk. 2014. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Yatini
Yatini
Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Artikel Terbaru

Pakaian Adat Banten Serta Pembahasannya

Banten sebagai provinsi yang dulunya menjadi bagian dari Jawa Barat memiliki kebudayaan yang pastinya dipengaruhi oleh budaya Jawa Barat atau Sunda. Seperti pada pakaian...

5 Pakaian Adat Kalimantan Tengah Serta Pembahasannya

Tidak banyak yang tahu jika Kalimantan Tengah merupakan provinsi yang masih menyimpan banyak keragaman hayati di Taman Nasional Tanjung Puting. Selain keragaman hayati yang...

Pakaian Adat Nusa Tenggara Barat Serta Pembahasannya

Nusa Tenggara Barat atau seringkali disingkat menjadi NTB terdiri dari beberapa suku yang mendiami wilayah tersebut. Suku-suku tersebut adalah suku Sasak, suku Bima, dan...

Contoh Cover Makalah

Sebagai siswa atau mahasiswa, mungkin kamu sering mendapatkan tugas untuk membuat makalah, baik secara individu ataupun kelompok. Dan pasti tidak terlepas dari pembuatan cover...

Siklus Batuan Beserta Penjelasannya

Batuan mengalami siklus yang biasa disebut siklus batuan. Batu dikenal sebagai benda yang cukup keras. Ketika kamu menemukan batu di halaman rumah, cobalah untuk...