Nilai mutlak sering kita gunakan dalam kehidupan, namun hanya sedikit orang yang memahaminya. Nah, Untuk memahami lebih lanjut mengenai nilai mutlak serta persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak kamu dapat belajar di sini.
Daftar Isi
Konsep Nilai Mutlak
Dalam kehidupan kamu pasti mengenal selisih dua bilangan. Pengurangan dari dua buah bilangan real dapat menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif dan nol. Nilai mutlak dari kasus ini adalah jarak antara bilangan tersebut.
Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real (Sinaga dkk., 2017).
Jika x adalah bilangan real (bilangan yang dapat didefinisikan pada garis bilangan, termasuk bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan, dan bilangan desimal), maka adalah bilangan mutlak, dan dapat didefinisikan :
Contoh
| Bilangan Real | Bilangan Mutlak |
| -7, 7 | |7| |
| 3, -3 | |3| |
| ¼, -1/4 | |1/4| |
| -2/7, 2/7 | |2/7| |
| 0,75, -0,75 | |0,75| |
| -0,5, 0,5 | |0.5| |
Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel merupakan persamaan linier yang bersifat mutlak dengan satu variabel di dalamnya.
Sifat Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
|a + b| = c
c ≥ 0 | c < 0 | |
| ax+b = c, maka x ≥ -b/a | – (ax+b) = c, maka x < -b/a | Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan. |
Dimana a ≠ 0 dan a, b, c, x adalah bilangan real.
Cara penyelesaian
- Pertama ubahlah persamaan linier dalam bentuk positif dan negatif.
- Kedua selesaikan persamaan dengan menggabungkan angka di satu ruas dan huruf di ruas lainnya.
INGAT !
- Angka yang pidah ruas akan berubah + menjadi – dan berlaku sebaliknya.
- Angka pengali yang pindah ruas akan menjadi dibagi dan berlaku sebaliknya.
- Angka pengkuadrat diselesaikan dengan akar pada kedua ruas dan begitu sebaliknya.
Baca juga: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Contoh soal
- Tentukan nilai x yang memenuhi dari Persamaan |2x + 7| = 4.
Penyelesaian:
| Positif | Negatif |
| 2x + 7 = 4 | -(2x -7) = 4 |
| 2x = 4 – 7 | -2x -7 = 4 |
| x = -3/2 | -7 – 4 = 2x |
| x = -11/2 |
Jadi penyelesaian dari |2x + 7| = 4 adalah x = -3/2 atau x = – 11/2.
2. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2x – 5| = 3 + 2 |7 – x|.
Penyelesaian:
|2x – 5| = 3 + 2 |7 – x| atau dapat ditulis |2x – 5| – 2|7 – x| = 3
| Positif – Positif | Negatif – Positif |
| (2x-5) – 2(7 – x) = 3 | -(2x – 5) – 2(7 – x) = 3 |
| 2x + 2x = 3 +5 + 14 | -2x+ 2x = 3 – 5 + 14 |
| 4x = 22 | 0x = 12 |
| x = 11/2 | Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan karena a = 0 |
| Positif – Negatif | Negatif – Positif |
| (2x – 5) – (-2)(7 – x) = 3 | (2x – 5) – (- 2)(7 – x) = 3 |
| (2x – 5) + 2(7 – x) = 3 | (2x – 5) + 2(7 – x) = 3 |
| 2x -2x = 3 + 5 – 14 | 2x = 3 + 5 – 14 |
| 0x = 6 | x = −3 |
| Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan karena a = 0 |
Jadi penyelesaian dari |2x – 5| = 3 + 2 |7 – x| adalah x = 11/2 atau x = 4.
3. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |3x – 5/3| = 1
Penyelesaian:
|3x – 5/3| = 1
| Positif | Negatif |
| 3x -5/3 = 1 | -(3x -5/3) = 1 |
| 3x = 1 + 5/3 | -3x + 5/3 = 1 |
| 3x = 8/3 | 5/3 – 1 = 3x |
| x = 8/9 | x = 2/9 |
Jadi penyelesaian dari |3x – 5/3| = 1 adalah x = 8/9 atau x = 2/9.
4. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |5x – 1| = |7 – x/3|.
Penyelesaian:
|5x – 1| = |7 – x/3| atau dapat ditulis |5x – 1| – |7 – x/3| = 0
| Positif – Positif | Negatif – Positif |
| (5x – 1) – (7 – x/3) = 0 | -(5x – 1) – (7 – x/3) = 0 |
| 5x + x/3 = 1 + 7 | -5x + x/3 = -1 + 7 |
| 16x/3 = 8 | -14x/3 = 6 |
| x = 3/2 | x = -9/7 |
| Positif – Negatif | Negatif – Negatif |
| (5x – 1) + (7 – x/3) = 0 | -(5x – 1) + (7 – x/3) = 0 |
| 5x – x/3 = 1 – 7 | -5x – x/3 = -1 – 7 |
| 14x/3 = -6 | -16x/3 = -8 |
| x = -9/7 | x = 3/2 |
Jadi penyelesaian dari |5x – 1| = |7 – x/3| adalah x = 3/2 atau x = -9/7
Cara penyelesaian lain
Setelah menggunakan cara di atas kamu juga bisa menggunakan cara yang lain. Berikut langkah-langkahnya:
- Pertama ubahlah persamaan linier dalam bentuk |x|= akar x^2 dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.
- Kedua selesaikan persamaan dengan menggabungkan angka di satu ruas dan huruf di ruas lainnya
INGAT !
- Cara ini hanya berlaku jika a2 ≠ 0 pada persamaan (ax + b)2 = c2 atau dijabarkan a2x2 + 2abx + b2 = c2
- Angka yang pidah ruas akan berubah + menjadi – dan berlaku sebaliknya.
- Angka pengali yang pindah ruas akan menjadi dibagi dan berlaku sebaliknya.
- Angka pengkuadrat diselesaikan dengan akar pada kedua ruas dan begitu sebaliknya.
(ax + b)2 = a2 x2 + 2abx + b2
(ax – b)2 = a2 x2 – 2abx + b2
Sekarang ayo gunakan penyelesaian ini dengan soal yang sama :
Contoh
- Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2X + 7| = 4.
Penyelesaian:
|2x + 7| = 4
(2x + 7) = 4
(2x + 7)² = 4²
(4x + 28x +49) = 16
4x + 28x + 33 = 0
(2x + 3) (2x + 11) = 0
x = -3/2 atau x = – 11/2
Jadi penyelesaian dari |2x + 7| = 4 adalah x = -3/2 atau x = – 11/2.
2. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2x + 5| = 3 + 2|7-x|
Penyelesaian:
|2x + 5| = 3 + 2|7-x|
(2x – 5)² = (3 + 2[7 – x])²
(4x2 – 20 x + 25) = (9 + 12 [7 – x] + 4 [49 – 14x + x2])
(4x2 – 20 x + 25) = (9 + [84 – 12x] + [196 – 56x + 4x2])
(4x2 – 20 x + 25) = (289 – 68x + 4x2)
0 = 0x2 + 48x + 264
0 =12 (4x – 22)
x = 11/2
Disarankan untuk benar-benar memahami sifat dan ketentuan dari persamaan nilai mutlak linear satu variabel.
Baca juga: Fungsi Linier
3. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |3x – 5/3| = 1
Penyelesaian:
|3x – 5/3| = 1
(3x -5/3)² = 1²
9x² – 10x + 25/9 = 1
81x² – 90x + 25 = 9
81x² – 90x + 16 = 0
(9x – 8)(9x – 2) = 0
x = 8/9 atau x = 2/9
Jadi penyelesaian dari |3x – 5/3| = 1 adalah x = 8/9 atau x = 2/9.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel merupakan pertidaksamaan linier yang bersifat mutlak dengan satu variabel di dalamnya.
Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak
| |x|≤ a dan a ≥ 0, maka -a ≤ x ≤ a | |x|≤ a dan a < 0, maka Tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan. |
| |x|≥ a dan a > 0, maka x ≥ a atau x ≤ -a |
Dimana a dan x adalah bilangan real.
Cara penyelesaian
- Pertama ubahlah pertidaksamaan linier dalam bentuk |x|= akar x ^2 dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.
- Kedua selesaikan pertidaksamaan dengan menggabungkan angka di satu ruas dan huruf di ruas lainnya.
Contoh soal
INGAT !
- Angka yang pidah ruas akan berubah + menjadi – dan berlaku sebaliknya.
- Angka pengali yang pindah ruas akan menjadi dibagi dan berlaku sebaliknya.
- Angka pengkuadrat diselesaikan dengan akar pada kedua ruas dan begitu sebaliknya.
- Setiap perkalian atau pembagian dengan bilangan negatif pada kedua sisi akan mengubah tanda ≤ menjadi ≥ dan begitu sebaliknya.
- Jika x kurang dari suatu bilangan real positif maka himpunan penyelesaiannya di antara ± bilangan itu.
- Jika x lebih dari suatu bilangan real positif maka himpunan penyelesaiannya lebih besar atau lebih kecil dari ± bilangan itu.
- (ax + b)2 = a2 x2 + 2abx + b2(ax – b)2 = a2 x2 – 2abx + b2
Baca juga: Eksponensial: Pengertian, Bentuk dan Sifat
Pemahaman Akhir
Dalam kehidupan sehari-hari, nilai mutlak sering digunakan, tetapi hanya sedikit orang yang benar-benar memahaminya. Nilai mutlak merupakan jarak antara suatu bilangan dengan nol pada garis bilangan real. Dalam notasi matematika, jika x adalah bilangan real, maka |x| adalah nilai mutlak dari x.
Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep nilai mutlak, persamaan nilai mutlak linier satu variabel, dan pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan.
Dalam penyelesaian persamaan nilai mutlak linier satu variabel, langkah-langkahnya adalah:
- Ubah persamaan linier menjadi bentuk positif dan negatif.
- Selesaikan persamaan dengan menggabungkan angka pada satu ruas dan huruf pada ruas lainnya.
- Perhatikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak linier, seperti ketentuan bahwa c harus lebih besar atau sama dengan nol.
Contoh soal yang diberikan dalam penjelasan adalah:
- Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x + 7| = 4. Penyelesaiannya adalah x = -3/2 atau x = -11/2.
- Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 5| = 3 + 2|7 – x|. Penyelesaiannya adalah x = 11/2 atau x = 4.
- Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |3x – 5/3| = 1. Penyelesaiannya adalah x = 8/9 atau x = 2/9.
Selain itu, terdapat pula penjelasan mengenai pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel. Beberapa sifat pertidaksamaan nilai mutlak yang perlu diperhatikan adalah:
- Jika |x| ≤ a dan a ≥ 0, maka -a ≤ x ≤ a.
- Jika |x| ≤ a dan a < 0, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan.
- Jika |x| ≥ a dan a > 0, maka x ≥ a atau x ≤ -a.
Dalam penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel, langkah-langkahnya mirip dengan penyelesaian persamaan nilai mutlak linier.
Dengan memahami konsep nilai mutlak, persamaan nilai mutlak linier satu variabel, dan pertidaksamaan nilai mutlak linier satu variabel, diharapkan kita dapat lebih memahami dan menguasai penggunaan nilai mutlak dalam matematika serta mampu menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai mutlak dengan lebih baik.
Inilah penjelasan mengenai konsep nilai mutlak, persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak serta contoh soal tentang nilai mutlak. Dengan penjelasan di atas, kamu sudah bisa memahami dan mencoba mengerjakan soal-soal mengenai nilai mutlak.
Sumber:
Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
Komentar