Nilai Mutlak: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Nilai mutlak sering kita gunakan dalam kehidupan, namun hanya sedikit orang yang memahaminya. Nah, Untuk memahami lebih lanjut mengenai nilai mutlak serta persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak kamu dapat belajar di sini.

Konsep Nilai Mutlak

Nilai Mutlak
sumber: dokumentasi penulis

Dalam kehidupan kamu pasti mengenal selisih dua bilangan. Pengurangan dari dua buah bilangan real dapat menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif dan nol. Nilai mutlak dari kasus ini adalah jarak antara bilangan tersebut.

Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real (Sinaga dkk., 2017).

Jika x adalah bilangan real (bilangan yang dapat didefinisikan pada garis bilangan, termasuk bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan, dan bilangan desimal), maka  adalah bilangan mutlak, dan dapat didefinisikan :

rumus nilai mutlak
Sumber: Dekomentasi penulis

Contoh

Bilangan RealBilangan Mutlak
-7, 7|7|
3, -3|3|
¼, -1/4|1/4|
-2/7, 2/7|2/7|
0,75, -0,75|0,75|
-0,5, 0,5|0.5|

Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Persamaan Nilai Mutlak Linier  Satu Variabel merupakan persamaan linier yang bersifat mutlak dengan satu variabel di dalamnya.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

|a + b| = c

c ≥ 0

c < 0

ax+b = c, maka

x ≥ -b/a

– (ax+b) = c, maka

x < -b/a

Tidak ada bilangan real  x yang memenuhi persamaan.

Dimana a ≠ 0 dan a, b, c, x adalah bilangan real.

Cara penyelesaian

  • Pertama ubahlah persamaan linier dalam bentuk positif dan negatif.
  • Kedua selesaikan persamaan dengan menggabungkan angka di satu ruas dan huruf di ruas lainnya.

INGAT !

  • Angka yang pidah ruas akan berubah + menjadi – dan berlaku sebaliknya.
  • Angka pengali yang pindah ruas akan menjadi dibagi dan berlaku sebaliknya.
  • Angka pengkuadrat diselesaikan dengan akar pada kedua ruas dan begitu sebaliknya.

Baca juga: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Contoh soal

  1. Tentukan nilai x yang memenuhi dari Persamaan |2x + 7| = 4.

Penyelesaian:

PositifNegatif
2x + 7 = 4-(2x -7) = 4
2x = 4 – 7-2x -7 = 4
x = -3/2-7 – 4 = 2x
x = -11/2

Jadi penyelesaian dari |2x + 7| = 4 adalah x = -3/2 atau x = – 11/2.

2. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2x – 5| = 3 + 2 |7 – x|.

Penyelesaian:

|2x – 5| = 3 + 2 |7 – x| atau dapat ditulis |2x – 5| – 2|7 – x| = 3

Positif – PositifNegatif – Positif
(2x-5) – 2(7 – x) = 3-(2x – 5) – 2(7 – x)  = 3
2x + 2x = 3 +5 + 14-2x+ 2x = 3 – 5 + 14
4x = 220x = 12
x = 11/2Tidak ada bilangan real  x yang memenuhi persamaan karena a = 0
Positif – NegatifNegatif – Positif
(2x – 5) – (-2)(7 – x) = 3(2x – 5) – (- 2)(7 – x) = 3
(2x – 5) + 2(7 – x) = 3(2x – 5) + 2(7 – x) = 3
2x -2x = 3 + 5 – 142x = 3 + 5 – 14
0x = 6x = −3
 Tidak ada bilangan real  x yang memenuhi persamaan karena a = 0

Jadi penyelesaian dari |2x – 5| = 3 + 2 |7 – x| adalah x = 11/2 atau x = 4.

3. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |3x –  5/3| = 1

Penyelesaian:

|3x –  5/3| = 1

PositifNegatif
3x -5/3 = 1-(3x -5/3) = 1
3x = 1 + 5/3-3x + 5/3 = 1
3x = 8/35/3 – 1 = 3x
x = 8/9x = 2/9

Jadi penyelesaian dari  |3x –  5/3| = 1 adalah x = 8/9 atau x = 2/9.

4. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |5x – 1| = |7 – x/3|.

Penyelesaian:

|5x – 1| = |7 – x/3| atau dapat ditulis |5x – 1| – |7 – x/3| = 0

Positif – PositifNegatif – Positif
(5x – 1) – (7 – x/3) = 0-(5x – 1) – (7 – x/3) = 0
5x + x/3 = 1 + 7-5x + x/3 = -1 + 7
16x/3 = 8-14x/3 = 6
x = 3/2x = -9/7
Positif  – NegatifNegatif – Negatif
(5x – 1) + (7 – x/3) = 0-(5x – 1) + (7 – x/3) = 0
5xx/3 = 1 – 7-5xx/3 = -1 – 7
14x/3 = -6-16x/3 = -8
x = -9/7x = 3/2

Jadi penyelesaian dari  |5x – 1| = |7 – x/3| adalah x = 3/2 atau x = -9/7

Cara penyelesaian lain

Setelah menggunakan cara di atas kamu juga bisa menggunakan cara yang lain. Berikut langkah-langkahnya:

  • Pertama ubahlah persamaan linier dalam bentuk |x|=  akar x^2 dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.
  • Kedua selesaikan persamaan dengan menggabungkan angka di satu ruas dan huruf di ruas lainnya

INGAT !

  • Cara ini hanya berlaku jika a2 ≠ 0 pada persamaan (ax + b)2 = c2 atau dijabarkan a2x2  + 2abx + b2 = c2
  • Angka yang pidah ruas akan berubah  +  menjadi  –  dan berlaku sebaliknya.
  • Angka pengali yang pindah ruas akan menjadi dibagi dan berlaku sebaliknya.
  • Angka pengkuadrat diselesaikan dengan akar pada kedua ruas dan begitu sebaliknya.

(ax + b)2 = a2 x2  + 2abx + b2

(ax – b)2 = a2 x2  – 2abx + b2

Sekarang ayo gunakan penyelesaian ini dengan soal yang sama :

Contoh

  1. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2X + 7| = 4.

Penyelesaian:

|2x + 7| = 4

(2x + 7) = 4

(2x + 7)² = 4²

(4x + 28x +49) = 16

4x + 28x + 33 = 0

(2x + 3) (2x + 11) = 0

x = -3/2 atau x = – 11/2

Jadi penyelesaian dari |2x + 7| = 4 adalah x = -3/2 atau x = – 11/2.

2. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |2x + 5| = 3 + 2|7-x|

Penyelesaian:

|2x + 5| = 3 + 2|7-x|

(2x – 5)² = (3 + 2[7 – x])²

(4x2 – 20 x + 25) = (9 + 12 [7 – x] + 4 [49 – 14x + x2])

(4x2 – 20 x + 25) = (9 + [84 – 12x] + [196 – 56x + 4x2])

(4x2 – 20 x + 25) = (289 – 68x + 4x2)

0 = 0x2 + 48x + 264

0 =12 (4x – 22)

x = 11/2

Disarankan untuk benar-benar memahami sifat dan ketentuan dari persamaan nilai mutlak linear satu variabel.

Baca juga: Fungsi Linier

3. Tentukan nilai x yang yang memenuhi persamaan |3x – 5/3| = 1

Penyelesaian:

|3x – 5/3| = 1

(3x -5/3)² = 1²

9x² – 10x + 25/9 = 1

81x² – 90x + 25 = 9

81x² – 90x + 16 = 0

(9x – 8)(9x – 2) = 0

x = 8/9 atau x = 2/9

Jadi penyelesaian dari  |3x – 5/3| = 1 adalah x = 8/9 atau x = 2/9.

soal persamaan 3
Sumber: Dokumentasi penulis

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier  Satu Variabel merupakan pertidaksamaan linier yang bersifat mutlak dengan satu variabel di dalamnya.

Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak

|x|≤ a dan a ≥ 0, maka

-a ≤ x ≤ a

|x|≤ a dan a < 0, maka

Tidak ada bilangan real  x yang memenuhi persamaan.

|x|≥ a dan a > 0, maka

x ≥ a atau x ≤ -a

Dimana a dan x adalah bilangan real.

Cara penyelesaian

  • Pertama ubahlah pertidaksamaan linier dalam bentuk |x|= akar x ^2  dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.
  • Kedua selesaikan pertidaksamaan dengan menggabungkan angka di satu ruas dan huruf di ruas lainnya.

Contoh soal

soal pertidaksamaan 1
Sumber: Dokumentasi penulis
soal pertidakasamaan 2
Sumber: Dokumentasi penulis
soal petidaksamaan 3
Sumber: Dekomentasi penulis

INGAT !

  • Angka yang pidah ruas akan berubah + menjadi – dan berlaku sebaliknya.
  • Angka pengali yang pindah ruas akan menjadi dibagi dan berlaku sebaliknya.
  • Angka pengkuadrat diselesaikan dengan akar pada kedua ruas dan begitu sebaliknya.
  • Setiap perkalian atau pembagian dengan bilangan negatif pada kedua sisi akan mengubah tanda ≤ menjadi ≥ dan begitu sebaliknya.
  • Jika x kurang dari suatu bilangan real positif maka himpunan penyelesaiannya di antara ± bilangan itu.
  • Jika x lebih dari suatu bilangan real positif maka himpunan penyelesaiannya lebih besar atau lebih kecil dari ± bilangan itu.
  • (ax + b)2 = a2 x2  + 2abx + b2(ax – b)2 = a2 x2  – 2abx + b2

Baca juga: Eksponensial: Pengertian, Bentuk dan Sifat

Inilah penjelasan mengenai konsep nilai mutlak, persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak serta contoh soal tentang nilai mutlak. Dengan penjelasan di atas, kamu sudah bisa memahami dan mencoba mengerjakan soal-soal mengenai nilai mutlak.


Sumber:

Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Artikel Terbaru

Yatini

Yatini

Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

Komentar

Tulis Komentar Anda

Your email address will not be published. Required fields are marked *