Integral: Pembahasan Serta Contoh Soal

Integral adalah salah satu materi yang banyak diterapkan dalam kehidupan. Contohnya ketika kita ingin mengetahui luas dari sebuah benda yang tidak beraturan. Untuk menentukan luas benda yang tidak beraturan tersebut kita bisa menggunakan integral untuk mengukurnya. Nah, untuk mengetahui lebih dalam mengenai materi integral ini mari kita pelajari di artikel ini ya.

Pengertian Integral Tak Tentu

integral
Sumber: Dokumentasi penulis

Integral tak tentu adalah suatu bentuk operasi integral (anti turunan, saling invers dengan penurunan) suatu fungsi yang belum memiliki nilai pasti berupa variabel, sehingga menghasilkan suatu fungsi baru berupa fungsi tak tentu yang disebut. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f (x) maka antiturunan dari f (x), adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta. Untuk fungsi f : R → R dan F : R → R disebut antiturunan dari f jika dan hanya jika F‘(x) = f (x), ∀xR (Manullang dkk., 2017).

Baca juga: Contoh Soal Limit Fungsi

Notasi Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau antiturunan dari sebuah fungsi f (x) ditulis dengan menggunakan notasi ”∫” (baca: integral), seperti berikut ini.

f(x) dx = F(x) + c.

Proses menemukan y dari dy/dx merupakan kebalikan dari sebuah proses turunan dan dinamakan antiturunan atau integral tak tentu. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F‘(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa :

  • Turunan F(x) adalah f(x) dan
  • Antiturunan dari f(x) adalah F(x).

Sifat-sifat Integral Tak Tentu

Sifat-sifat integral tak tertentu yang berlaku adalah sebagai berikut ini :

Untuk n bilangan rasional dan n ≠ –1 dengan a dan c konstanta real, maka sifat integral sesuai dengan rumus integral berikut ini.

integral 1
Sumber: Dokumentasi penulis

Misalkan k bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat ditentukan integralnya, maka sifat integral sesuai dengan rumus integral adalah berikut ini.

integral 2
Sumber: Dokumentasi penulis

Misalkan f1 (x), f2 (x), …, fn (x) adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, maka berlaku sifat integral sesuai dengan rumus integral adalah berikut ini:

∫ (f1(x) + f2(x) + … + fn(x)) dx = ∫ (f1(x) dx + ∫ f2(x) dx + … + ∫ fn(x) dx.

          (Manullang dkk., 2017).

Integral Tentu

Integral tentu adalah suatu bentuk operasi integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Aplikasi integral di dalam kehidupan dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau bisa juga untuk menghitung volume benda jika diputar. Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka :

Integral tentu
Sumber: Dokumentasi penulis

Adalah integral tentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut ini :

integral tentu 1
Sumber: Dokumentasi penulis

f(x) = fungsi integral tentu

a    = batas bawah

b    = batas atas.

Sifat-sifat integral tentu adalah sebagai berikut

  • Kelinieran

Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka berlaku:

kelinieran
Sumber: Dokumentasi penulis
  • Perubahan batas

Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b], maka berlaku :

kesimetrian
Sumber: Dokumentasi penulis
  • Penambahan interval

Jika f dan g terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka berlaku :

penambahan interval
Sumber: Dokumentasi penulis
  • Kesimetrisan
kesimetrian 1
Sumber: Dokumentasi penulis

Integral Substitusi

Integral subtitusi merupakan suatu metode menyelesaikan integral dengan mensubstitusi suatu variabel dan mengubahnya ke bentuk yang ringkas. Integral subtitusi digunakan ketika proses pengintegralan tidak dapat diselesaikan dengan cara penyelesaian sederhana, atau jika dapat diselesaikan tapi akan membutuhkan tahapan yang panjang.

Rumus integral subtitusi :

f(g(x)) g’(x) dx = ∫ f(u) du

Integral substitusi
Sumber: Dokumentasi penulis

Biasanya untuk menyelesaikan integral trigonometri menggunakan integral subtitusi. Integral trigonometri adalah hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Integral trigonometri bisa dituliskan sebagai rumus berikut ini :

∫ cos x dx = sin x + c

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ sec2 x dx = tan x + c

∫ csc2 x dx = cot x + c

∫ sec x tan x dx = sec x + c

∫ csc x cot x dx = -csc x + c

Rumus integral trigonometri bisa dituliskan secara umum seperti ini

∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c

∫ sin (ax + b) dx = cos (ax + b) + c

∫ sec2 (ax + b) dx =  tan (ax + b) + c

∫ csc2 (ax + b) dx = cot (ax + b) + c

∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = sec (ax + b) + c

∫ csc (ax + b) cot (ax + b) dx = csc (ax + b) + c

Integral Parsial

Integral parsial bisa menjadi solusi jika suatu fungsi tidak dapat diselesaikan dengan metode integral substitusi. Meskipun sebenarnya integral parsial bisa menjadi alternatif ketika fungsi tidak bisa diselesaikan dengan rumus dasar integral. Fungsi-fungsi yang bisa diselesaikan dengan integral parsial adalah fungsi yang melibatkan perkalian dari fungsi logaritma, invers, polinom, eksponensial dan trigonometri.

Rumus integral parsial :

Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka berlaku integral parsial.

Rumus integral farsial
Sumber: Dokumentasi penulis

Baca juga: Fungsi Trigonometri

Penerapan Integral dalam Kehidupan

Integral dalam kehidupan sehari-hari digunakan dalam berbagai bidang seperti teknologi, fisika, ekonomi, matematika, dan teknik. Integral dalam bidang teknologi digunakan untuk menyelesaikan masalah luas bidang, volume ruang atau bangun, panjang dari suatu kurva, prediksi populasi, usaha, gaya dan surplus konsumen. Integral dalam bidang ekonomi digunakan untuk menentukan persamaan perilaku ekonomi, fungsi asal, fungsi tabungan, fungsi kapital, fungsi konsumsi, fungsi penerimaan dan fungsi biaya dari fungsi marginalnya.

Integral dalam bidang matematika digunakan untuk mengetahui luasan suatu bidang datar, suatu benda putar dan panjang dari suatu busur. Integral dalam fisika digunakan untuk analisa rangkaian arus listrik bolak-balik, medan magnet pada suatu kumparan, dan gaya pada struktur pelengkung. Integral dalam bidang teknik digunakan untuk menentukan volume benda putar dan luasan daerah pada suatu kurva.

Contoh Soal dan Pembahasan Integral

Untuk lebih memahami integral, perhatikan contoh soal dan pembahasan integral berikut ini.

1. Jika diketahui percepatan sebuah benda yang bergerak pada garis koordinat adalah a(t) = 5t2 + 7t + 3. Tentukanlah fungsi posisi benda tersebut!

Penyelesaian:

contoh integral 1
Sumber: Dokumentasi penulis

Jadi fungsi posisi benda yang bergerak pada garis koordinat adalah s(t) = 5/12t4 + 7/6t3 + 3/2t2 + ct + d.

  1. Hasil dari operasi integral berikut ini ∫ 5 (2x2 + 11x – 6)6 (4x + 11) dx adalah….

Penyelesaian :

Rumus integral

f(g(x)) g’(x) dx = ∫ f(u) du

contoh integral 2
Sumber: Dokumentasi penulis

Jadi hasil dari operasi integral ∫ 5 (2x2 + 11x – 6)6 (4x + 11) adalah 5/7 (2x2 + 11x – 6)7 + c.

  1. Hasil dari operasi integral berikut ini ∫ (4x + 11) sin (3x – π) dx adalah….

Penyelesaian:

Rumus integral :

rumus integral 1
Sumber: Dokumentasi penulis

u = (4x + 11)

du/dx = 4

du = 4 dx

contoh soal integral 3
Sumber: Dokumentasi penulis

Baca juga: Transformasi Geometri

Demikianlah penjelasan materi integral, semoga dapat bermanfaat buat kita semua. Tetap semangat untuk belajar sepanjang hayat!


Daftar Pustaka :

Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika Kelas XI. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Artikel Terbaru

Yatini

Yatini

Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

Tulis Komentar Anda

Your email address will not be published. Required fields are marked *