Integral adalah salah satu materi yang banyak diterapkan dalam kehidupan. Contohnya ketika kita ingin mengetahui luas dari sebuah benda yang tidak beraturan. Untuk menentukan luas benda yang tidak beraturan tersebut kita bisa menggunakan integral untuk mengukurnya. Nah, untuk mengetahui lebih dalam mengenai materi integral ini mari kita pelajari di artikel ini ya.
Daftar Isi
Pengertian Integral Tak Tentu
Integral tak tentu adalah suatu bentuk operasi integral (anti turunan, saling invers dengan penurunan) suatu fungsi yang belum memiliki nilai pasti berupa variabel, sehingga menghasilkan suatu fungsi baru berupa fungsi tak tentu yang disebut. Jika F(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, yaitu f (x) maka antiturunan dari f (x), adalah F(x) + c dengan c adalah sembarang konstanta. Untuk fungsi f : R → R dan F : R → R disebut antiturunan dari f jika dan hanya jika F‘(x) = f (x), ∀x ∈ R (Manullang dkk., 2017).
Baca juga: Contoh Soal Limit Fungsi
Notasi Integral Tak Tentu
Integral tak tentu atau antiturunan dari sebuah fungsi f (x) ditulis dengan menggunakan notasi ”∫” (baca: integral), seperti berikut ini.
∫ f(x) dx = F(x) + c.
Proses menemukan y dari dy/dx merupakan kebalikan dari sebuah proses turunan dan dinamakan antiturunan atau integral tak tentu. Jika F(x) adalah sebuah fungsi dengan F‘(x) = f(x) dapat dikatakan bahwa :
- Turunan F(x) adalah f(x) dan
- Antiturunan dari f(x) adalah F(x).
Sifat-sifat Integral Tak Tentu
Sifat-sifat integral tak tertentu yang berlaku adalah sebagai berikut ini :
Untuk n bilangan rasional dan n ≠ –1 dengan a dan c konstanta real, maka sifat integral sesuai dengan rumus integral berikut ini.
Misalkan k bilangan real, f(x) dan g(x) merupakan fungsi yang dapat ditentukan integralnya, maka sifat integral sesuai dengan rumus integral adalah berikut ini.
Misalkan f1 (x), f2 (x), …, fn (x) adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Integral tak tentu hasil penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan integral tak tentu dari masing-masing fungsi, maka berlaku sifat integral sesuai dengan rumus integral adalah berikut ini:
∫ (f1(x) + f2(x) + … + fn(x)) dx = ∫ (f1(x) dx + ∫ f2(x) dx + … + ∫ fn(x) dx.
(Manullang dkk., 2017).
Integral Tentu
Integral tentu adalah suatu bentuk operasi integral yang memiliki nilai batas atas dan batas bawah. Aplikasi integral di dalam kehidupan dapat digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau bisa juga untuk menghitung volume benda jika diputar. Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka :
Adalah integral tentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut ini :
f(x) = fungsi integral tentu
a = batas bawah
b = batas atas.
Sifat-sifat integral tentu adalah sebagai berikut
- Kelinieran
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka berlaku:
- Perubahan batas
Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b], maka berlaku :
- Penambahan interval
Jika f dan g terintegralkan pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka berlaku :
- Kesimetrisan
Integral Substitusi
Integral subtitusi merupakan suatu metode menyelesaikan integral dengan mensubstitusi suatu variabel dan mengubahnya ke bentuk yang ringkas. Integral subtitusi digunakan ketika proses pengintegralan tidak dapat diselesaikan dengan cara penyelesaian sederhana, atau jika dapat diselesaikan tapi akan membutuhkan tahapan yang panjang.
Rumus integral subtitusi :
∫ f(g(x)) g’(x) dx = ∫ f(u) du
Biasanya untuk menyelesaikan integral trigonometri menggunakan integral subtitusi. Integral trigonometri adalah hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Integral trigonometri bisa dituliskan sebagai rumus berikut ini :
∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin x dx = -cos x + c
∫ sec2 x dx = tan x + c
∫ csc2 x dx = cot x + c
∫ sec x tan x dx = sec x + c
∫ csc x cot x dx = -csc x + c
Rumus integral trigonometri bisa dituliskan secara umum seperti ini
∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + c
∫ sin (ax + b) dx = cos (ax + b) + c
∫ sec2 (ax + b) dx = tan (ax + b) + c
∫ csc2 (ax + b) dx = cot (ax + b) + c
∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = sec (ax + b) + c
∫ csc (ax + b) cot (ax + b) dx = csc (ax + b) + c
Integral Parsial
Integral parsial bisa menjadi solusi jika suatu fungsi tidak dapat diselesaikan dengan metode integral substitusi. Meskipun sebenarnya integral parsial bisa menjadi alternatif ketika fungsi tidak bisa diselesaikan dengan rumus dasar integral. Fungsi-fungsi yang bisa diselesaikan dengan integral parsial adalah fungsi yang melibatkan perkalian dari fungsi logaritma, invers, polinom, eksponensial dan trigonometri.
Rumus integral parsial :
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x yang kontinu dan terdiferensialkan, maka berlaku integral parsial.
Baca juga: Fungsi Trigonometri
Penerapan Integral dalam Kehidupan
Integral dalam kehidupan sehari-hari digunakan dalam berbagai bidang seperti teknologi, fisika, ekonomi, matematika, dan teknik. Integral dalam bidang teknologi digunakan untuk menyelesaikan masalah luas bidang, volume ruang atau bangun, panjang dari suatu kurva, prediksi populasi, usaha, gaya dan surplus konsumen. Integral dalam bidang ekonomi digunakan untuk menentukan persamaan perilaku ekonomi, fungsi asal, fungsi tabungan, fungsi kapital, fungsi konsumsi, fungsi penerimaan dan fungsi biaya dari fungsi marginalnya.
Integral dalam bidang matematika digunakan untuk mengetahui luasan suatu bidang datar, suatu benda putar dan panjang dari suatu busur. Integral dalam fisika digunakan untuk analisa rangkaian arus listrik bolak-balik, medan magnet pada suatu kumparan, dan gaya pada struktur pelengkung. Integral dalam bidang teknik digunakan untuk menentukan volume benda putar dan luasan daerah pada suatu kurva.
Contoh Soal dan Pembahasan Integral
Untuk lebih memahami integral, perhatikan contoh soal dan pembahasan integral berikut ini.
1. Jika diketahui percepatan sebuah benda yang bergerak pada garis koordinat adalah a(t) = 5t2 + 7t + 3. Tentukanlah fungsi posisi benda tersebut!
Penyelesaian:
Jadi fungsi posisi benda yang bergerak pada garis koordinat adalah s(t) = 5/12t4 + 7/6t3 + 3/2t2 + ct + d.
- Hasil dari operasi integral berikut ini ∫ 5 (2x2 + 11x – 6)6 (4x + 11) dx adalah….
Penyelesaian :
Rumus integral
∫ f(g(x)) g’(x) dx = ∫ f(u) du
Jadi hasil dari operasi integral ∫ 5 (2x2 + 11x – 6)6 (4x + 11) adalah 5/7 (2x2 + 11x – 6)7 + c.
- Hasil dari operasi integral berikut ini ∫ (4x + 11) sin (3x – π) dx adalah….
Penyelesaian:
Rumus integral :
u = (4x + 11)
du/dx = 4
du = 4 dx
Baca juga: Transformasi Geometri
Pemahaman Akhir
Integral adalah salah satu materi yang memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh penggunaan integral adalah untuk menghitung luas dari benda yang tidak beraturan. Dalam integral tak tentu, kita melakukan operasi antiturunan terhadap fungsi yang belum memiliki nilai pasti dan menghasilkan suatu fungsi baru. Proses ini merupakan kebalikan dari proses turunan.
Integral tak tentu ditulis dengan menggunakan notasi ∫ f(x) dx = F(x) + c, di mana F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x) dan c adalah sembarang konstanta. Beberapa sifat integral tak tentu termasuk kelinieran, perubahan batas, penambahan interval, dan kesimetrisan.
Selain itu, terdapat pula integral tentu, yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva dengan batas tertentu atau volume benda jika diputar. Sifat-sifat integral tentu meliputi kelinieran, perubahan batas, penambahan interval, dan kesimetrisan.
Dalam pengaplikasiannya, integral banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti teknologi, fisika, ekonomi, matematika, dan teknik. Contoh penggunaan integral meliputi perhitungan luas bidang, volume benda putar, panjang kurva, analisis rangkaian arus listrik bolak-balik, medan magnet, dan banyak lagi.
Dalam menyelesaikan integral, kita dapat menggunakan metode integral substitusi atau integral parsial ketika rumus dasar integral tidak dapat diterapkan secara langsung. Dengan memahami dan menguasai integral, kita dapat memecahkan berbagai masalah dalam berbagai bidang dengan lebih efisien.
Demikianlah penjelasan materi integral, semoga dapat bermanfaat buat kita semua. Tetap semangat untuk belajar sepanjang hayat!
Daftar Pustaka :
Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika Kelas XI. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
