Ada beberapa jenis transformasi seperti transformasi koordinat, dan transformasi geometri. Transformasi koordinat adalah proses pemindahan suatu sistim koordinat ke sistim koordinat lainnya. Transformasi koordinat digunakan untuk menyederhanakan suatu kasus seperti menganalisa pergerakan bola. Dalam penyelesaian transformasi koordinat menggunakan deferensial. Pada bab ini tidak akan membahas mengenai trasformasi koordinat, tapi akan membahas mengenai transformasi geometri.
Transformasi geometri merupakan materi lanjutan dari matriks. Pada materi ini masih menggunakan matriks dalam menyelesaikan operasi transformasinya. Transformasi geometri ini banyak sekali kita temui dalam kehidupan kita. Contohnya perpindahan benda dari tempat ke tempat lain. Lalu ketika kita bercermin dan jika Ketika kita memperbesar atau memperkecil foto. Selanjutnya perputaran benda misalnya roda kendaraan, kipas angin dan masih banyak lagi. Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai materi geometri transformasi ini mari kita pelajari melalui bahasan kali ini.
Perubahan pada bangun geometri disebut transformasi geometri. Dengan transformasi geometri, suatu bangun geometri bisa dirubah letaknya atau bentuknya, sehingga ada perubahan letak atau bentuk. Transformasi geometri yang dikaji terdiri dari translasi (pergeseran), refeksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian) serta komposisinya.
Daftar Isi
Translasi (Pergeseran)
Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Rumus transformasi tranlasi:
Titik A(x, y) ditranslasi oleh T(a, b) menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:
Baca juga: Induksi Matematika
Refleksi (Pencerminan)
Bangun yang dicerminkan (refeksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.
Rumus transformasi refleksi:
Pencerminan terhadap titik O (0, 0)
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O (0, 0) menghasilkan bayangan A’(x’, y’), ditulis dengan:
Pencerminan terhadap sumbu x
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:
Pencerminan terhadap sumbu y
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:
Pencerminan terhadap garis y = x
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:
Pencerminan terhadap garis y = –x
Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = –x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:
Rotasi (Perputaran)
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Rumus transformasi rotasi:
Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut α menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:
Matriks rotasi dengan sudut α (berlawanan arah jarum jam) adalah:
Dilatasi (Perkalian)
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.
- Jika k ˃ 1 maka bangun akan diperbesar dan berletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
- Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
- Jika 0 ˂ k ˂ 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
- Jika -1 ˂ k ˂ 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
- Jika k = -1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun.
- Jika k ˂ -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Rumus transformasi dilatasi
Titik A(x, y) dilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:
Komposisi Transformasi
Matriks komposisi translasi
Matriks komposisi refleksi
Matriks komposisi rotasi
Contoh Soal Transformasi Geometri
Untuk lebih memahami materi geometri transformasi ini, perhatikan contoh soal dan pembahasan transformasi geometri berikut ini.
1. Titik A(-3, 5) ditranslasikan dengan T1 (2, -7) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2 (3, -2). Tentukan koordinat akhir titik A tersebut !
Pembahasan:
2. Jika garis x – 3y + 2 = 0 dilatasi dengan pusat P (2, 1) dan skala -3, maka cobalah tentukan bayangan dari garis tersebut.
Pembahasan:
Subtitusikan ke persamaan awalnya, sehingga menjadi:
x – 3y + 2 = 0 (sebelum subtitusi)
(-x /3 + 8/3) – 3 (-y/3 + 4/3)+ 2 = 0
–x /3 + y + 2/3 = 0 (kedua ruas dikalikan 3)
–x + 3y + 2 = 0
Jadi bayangan garis tersebut adalah –x + 3y + 2 = 0.
3. Garis x + 2 y – 5 = 0 dirotasi dengan dimana adalah rotasi dengan sudut 90º berlawanan arah jarum jam pada pusat P (2, 1). Tentukan persamaan posisi akhir garis tersebut !
Pembahasan:
Subtitusikan ke persamaan awalnya, sehingga menjadi:
x + 2 y – 5 = 0 (sebelum subtitusi)
(y + 1) + 2 (x + 3) – 5 = 0
y + 1 + 2x + 6 – 5 = 0
y + 2x + 2 = 0
Jadi persamaan posisi akhir garis tersebut adalah y + 2x + 2 = 0.
Baca juga: Program Linier
Pemahaman Akhir
Transformasi geometri, terdapat empat jenis transformasi yang telah dibahas, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian) serta komposisinya. Transformasi geometri digunakan untuk merubah letak atau bentuk suatu bangun geometri.
Translasi merupakan transformasi yang menggeser suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain tanpa mengubah bentuk dan ukurannya. Rumus translasi menggunakan matriks untuk menentukan koordinat akhir titik setelah digeser.
Refleksi adalah transformasi yang mencerminkan suatu bangun geometri terhadap sumbu atau garis tertentu. Terdapat beberapa jenis refleksi, yaitu refleksi terhadap titik, sumbu x, sumbu y, garis y = x, dan garis y = -x. Rumus refleksi menggunakan matriks untuk menentukan koordinat bayangan setelah dicerminkan.
Rotasi merupakan transformasi yang memutar suatu bangun geometri terhadap pusat rotasi dengan sudut tertentu. Rumus rotasi menggunakan matriks untuk menentukan koordinat akhir titik setelah diputar.
Dilatasi adalah transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun geometri dengan skala tertentu. Skala dilatasi dapat bernilai lebih dari 1 untuk perbesaran, antara 0 dan 1 untuk perkecilan, atau negatif untuk perkecilan dan pemindahan terhadap pusat dilatasi. Rumus dilatasi menggunakan matriks untuk menentukan koordinat akhir titik setelah dilatasi.
Selain transformasi tunggal, juga terdapat komposisi transformasi yang merupakan penggabungan dua atau lebih transformasi geometri. Komposisi transformasi dapat dilakukan dengan mengalikan matriks transformasi masing-masing transformasi.
Dalam pemahaman transformasi geometri, contoh soal dan pembahasan dapat membantu dalam memahami konsep tersebut. Contoh soal mencakup translasi, dilatasi, dan rotasi, dan dengan menggunakan rumus-rumus transformasi, kita dapat menentukan koordinat akhir atau persamaan posisi akhir dari suatu bangun geometri setelah melalui transformasi.
Dengan mempelajari transformasi geometri, kita dapat memahami bagaimana suatu bangun geometri dapat berubah bentuk dan letaknya melalui pergeseran, pencerminan, rotasi, dan dilatasi. Konsep transformasi geometri memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam bidang desain, animasi, konstruksi, dan matematika lanjutan.
Demikianlah penjelesan mengenai materi geometri transformasi dengan lengkap beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat membantu kamu dalam belajar memahami materi geometri transformasi.
Daftar Pustaka
Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
