Transformasi Geometri, Translasi, Refleksi, Rotasi dan Dilatasi

Ada beberapa jenis transformasi seperti transformasi koordinat, dan transformasi geometri. Transformasi koordinat adalah proses pemindahan suatu sistim koordinat ke sistim koordinat lainnya. Transformasi koordinat digunakan untuk menyederhanakan suatu kasus seperti menganalisa pergerakan bola. Dalam penyelesaian transformasi koordinat menggunakan deferensial. Pada bab ini tidak akan membahas mengenai trasformasi koordinat, tapi akan membahas mengenai transformasi geometri.

Transformasi geometri merupakan materi lanjutan dari matriks. Pada materi ini masih menggunakan matriks dalam menyelesaikan operasi transformasinya. Transformasi geometri ini banyak sekali kita temui dalam kehidupan kita. Contohnya perpindahan benda dari tempat ke tempat lain. Lalu ketika kita bercermin dan jika Ketika kita memperbesar atau memperkecil foto. Selanjutnya perputaran benda misalnya roda kendaraan, kipas angin dan masih banyak lagi. Untuk mengetahui lebih lanjut mengenai materi geometri transformasi ini mari kita pelajari melalui bahasan kali ini.

Perubahan pada bangun geometri disebut transformasi geometri. Dengan transformasi geometri, suatu bangun geometri bisa dirubah letaknya atau bentuknya, sehingga ada perubahan letak atau bentuk. Transformasi geometri yang dikaji terdiri dari translasi (pergeseran), refeksi (pencerminan), rotasi (perputaran) dan dilatasi (perkalian) serta komposisinya.

Translasi (Pergeseran)

Transformasi geometri
Sumber: Dokumentasi penulis

Bangun yang digeser (translasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Rumus transformasi tranlasi:

Titik A(x, y) ditranslasi oleh T(a, b) menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:

translasi
Sumber: Dokumentasi penulis

Baca juga: Induksi Matematika

Refleksi (Pencerminan)

Bangun yang dicerminkan (refeksi) dengan cermin datar tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran. Jarak bangun dengan cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Rumus transformasi refleksi:

Pencerminan terhadap titik O (0, 0)

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap titik O (0, 0) menghasilkan bayangan A’(x’, y’), ditulis dengan:

Refleksi
Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap sumbu x

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

pencerminan terhadap sumbu x
Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap sumbu y

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap sumbu y menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

pencerminan terhadap sumbu y
Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap garis y  = x

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y  = x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

refleksi y=x
Sumber: Dokumentasi penulis

Pencerminan terhadap garis y  = –x

Titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y  = –x menghasilkan bayangan A’(x’, y’) ditulis dengan:

refleksi y=-x
Sumber: Dokumentasi penulis

Rotasi (Perputaran)

Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.

Rumus transformasi rotasi:

Titik A(x, y) diputar dengan pusat P(p, q) dan sudut α menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:

rotasi
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks rotasi dengan sudut α (berlawanan arah jarum jam) adalah:

rotasi 1
Sumber: Dokumentasi penulis

Dilatasi (Perkalian)

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

  • Jika k ˃ 1 maka bangun akan diperbesar dan berletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
  • Jika 0 ˂ k ˂ 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika -1 ˂ k ˂ 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika k = -1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun.
  • Jika k ˂ -1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Rumus transformasi dilatasi

Titik A(x, y) dilatasi dengan pusat P(p, q) dan skala k menghasilkan bayangan A‘(x‘, y‘), ditulis dengan:

Dilatasi
Sumber: Dokumentasi penulis

Komposisi Transformasi

Matriks komposisi translasi

komposisi translasi
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks komposisi refleksi

komposisi refleksi
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks komposisi rotasi

komposisi rotasi
Sumber: Dokumentasi penulis

Contoh Soal Transformasi Geometri

Untuk lebih memahami materi geometri transformasi ini, perhatikan contoh soal dan pembahasan transformasi geometri berikut ini.

1. Titik A(-3, 5) ditranslasikan dengan T1 (2, -7) kemudian dilanjutkan dengan translasi T2 (3, -2). Tentukan koordinat akhir titik A tersebut !

Pembahasan:

contoh soal geomteri transformasi
Sumber: Dokumentasi penulis

2. Jika garis x – 3y + 2 = 0 dilatasi dengan pusat P (2, 1) dan skala -3, maka cobalah tentukan bayangan dari garis tersebut.

Pembahasan:

contoh soal geomteri transformasi 2
Sumber: Dokumentasi penulis

Subtitusikan ke persamaan awalnya, sehingga menjadi:

x – 3y + 2 = 0          (sebelum subtitusi)

(-x /3 + 8/3) – 3 (-y/3 + 4/3)+ 2 = 0

x /3 + y + 2/3 = 0    (kedua ruas dikalikan 3)

x  + 3y + 2 = 0

Jadi bayangan garis tersebut adalah –x  + 3y + 2 = 0.

3. Garis x + 2 y – 5 = 0 dirotasi dengan dimana adalah rotasi dengan sudut 90º berlawanan arah jarum jam pada pusat P (2, 1). Tentukan persamaan posisi akhir garis tersebut !

Pembahasan:

contoh soal pemhasan geometri transformasi
Sumber: Dokumentasi penulis

Subtitusikan ke persamaan awalnya, sehingga menjadi:

x + 2 y – 5 = 0         (sebelum subtitusi)

(y + 1) + 2 (x + 3) – 5 = 0

y + 1 + 2x + 6 – 5 = 0

y  + 2x + 2 = 0

Jadi persamaan posisi akhir garis tersebut adalah y  + 2x + 2 = 0.

Baca juga: Program Linier

Demikianlah penjelesan mengenai materi geometri transformasi dengan lengkap beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat membantu kamu dalam belajar memahami materi geometri transformasi.


Daftar Pustaka

Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Artikel Terbaru

Yatini

Yatini

Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

Tulis Komentar Anda

Your email address will not be published. Required fields are marked *