Program Linier, Contoh Soal dan Pembahasan

Program linier adalah materi yang sudah tidak asing lagi bagi kita. Materi program linier ini merupakan lanjutan dari materi aljabar dan juga persamaan dan pertidaksamaan linier dua variabel dan tiga variabel.

Sahabat semua juga telah mengetahui begitu banyak manfaat dari pembelajaran aljabar maupun persamaan linier dua variabel atau tiga variabel. Nah untuk program linier ini juga tentu memiliki manfaat yang dapat di aplikasikan dalam kehidupan kita. Untuk itu mari kita pelajari lebih lanjut materi program linier ini.

Pengertian Program Linear Dua Variabel

program linier
Sumber: Dokumentasi Penulis

Program linear dua variabel adalah salah satu metode dalam menentukan solusi optimal dari suatu permasalahan linear yang memuat dua variabel berderajat satu. Konsep program linear berdasar dari konsep persamaan dan pertidaksamaan bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu masalah program linear.

Model matematika merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan masalah kontekstual. Pembentukan model tersebut dilandasi oleh konsep berpikir logis dan kemampuan bernalar keadaan masalah nyata ke bentuk matematika. Untuk lebih memahami program linier kita lihat contoh soal dan pembahasan program linier berikut ini.

Baca juga: Bentuk Logaritma

Nina membeli dua pulpen dan tiga buku dengan total seharga Rp 19.000,-. Besok harinya Nina membeli tiga pulpen dan satu buku seharga Rp 11.000,-. Jika Nina ingin membeli tiga pulpen dan dua buku, berapakah total yang harus dia bayar?

Pembahasan:

Untuk menyederhanakan maka ribuan akan dihilangkan terlebih dahulu.

2P + 3B = 19

3P + B = 11 à B = 11 – 3P

 

2P + 3B = 19

2P + 3 (11 – 3P) = 19

2P + 33 – 9P = 19

14 = 7P

P = 2

 

B = 11 – 3P

B = 11 – 3 (2)

B = 5

3P + 2B = 3 (2) + 2 (5) = 6 + 10 = 16

Jadi total yang harus Nina bayar untuk tiga pulpen dan dua buku adalah Rp 16.000,-.

Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dikatakan membentuk kendala program linear jika dan hanya jika variabel-variabelnya saling terkait dan variabel yang sama memiliki nilai yang sama sebagai penyelesaian setiap pertidaksamaan linear pada sistem tersebut. Sistem pertidaksamaan ini disebut sebagai kendala.

Nilai-nilai variabel (x, y) disebut sebagai himpunan penyelesaian pada masalah suatu program linear jika nilai (x, y) memenuhi setiap pertidaksamaan yang terdapat pada kendala program linear. Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan yang berbentuk :

ax + by + c < 0

ax + by + c ≤ 0

ax + by + c > 0

ax + by + c ≤ 0

dengan :

a, b : koefsien (a ≠ 0, b ≠ 0, a, b ϵ R)

c : konstanta (c ϵ R)

x, y : variabel (x, y ϵ R)

(Manullang dkk., 2017)

Untuk lebih memahami Pertidaksamaan Linier Dua Variabel mari kita lihat contoh soal dan pembahasan berikut ini.

Mirna mengikuti ujian CPNS pada tahun 2014. Sistem ujian yang selektif dan kompetitif, mengharuskan setiap peserta ujian harus memiliki nilai gabungan tes SKD dan SKB minimal 350, dengan bobot SKD 40% dan SKB 60%. Tapi setiap ujian harus memiliki nilai minimal 275. Nyatakanlah masalah ini dalam simbol matematik dan tentukanlah himpunan penyelesaiannya!

Pembahasan:

Diketahui bahwa bobot untuk setiap nilai tes berturut-turut adalah 40% dan 60%. Untuk dinyatakan lulus, maka    nilai     minimal gabungan SKD dan SKB Mirna minimal 350, secara matematik dapat dituliskan :

(40% × SKD) + (60% × SKB) ≥ 350

275 ≤ SKD ≤ 500

275 ≤ SKB ≤ 500

Misalkan nilai SKD memenuhi minimal yaitu 275 :

(40% × SKD) + (60% × SKB) ≥ 350

(40% × 275) + (60% × SKB) ≥ 350

110 + (60% × SKB) ≥ 350

(60% × SKB) ≥ 240

SKB ≥ 400

Misalkan nilai SKB memenuhi minimal yaitu 275 :

(40% × SKD) + (60% × SKB) ≥ 350

(40% × SKD) + (60% × 275) ≥ 350

(40% × SKD) + 165 ≥ 350

(40% × SKD) ≥ 185

SKD ≥ 462,5

Himpunan penyelesaikan = {(275, 400), (462,5, 275), ….}

Jadi himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua variabel tersebut adalah {(275, 400), (462,5, 275), ….}.

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Suatu fungsi objektif terdefinisi pada daerah penyelesaian suatu masalah program linear. Fungsi objektif memiliki nilai jika sistem kendala memiliki daerah penyelesaian atau irisan. Konsep sistem pertidaksamaan dan persamaan linear berlaku juga untuk sistem kendala masalah program linear. Artinya jika sistem tersebut tidak memiliki solusi, maka fungsi sasaran tidak memiliki nilai. Masalah program linear dua variabel adalah menentukan nilai x1 , x2 yang memaksimumkan (atau meminimumkan) fungsi tujuan :

Z(x1 , x2 ) = C1 x1 + C2 x2

dengan kendala:

a11 x1+ a12 x2 (≤, =, ≥) b1

a21 x1 + a22 x2 (≤, =, ≥)  b2

am1 x1 + am2 x2 (≤, =, ≥)  bm

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

 

Daerah Layak / Daerah Penyelesaian / Daerah Optimum

Daerah penyelesaian masalah program linear merupakan himpunan semua titik (x, y) yang memenuhi kendala suatu masalah program linear.

Garis selidik

Garis selidik merupakan salah satu cara untuk menentukan nilai objektif suatu fungsi sasaran masalah program linear dua variabel. Garis selidik ini merupakan persamaan garis fungi sasaran, ax + by = k, yang digeser di sepanjang daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi sasaran masalah program linear. Mari kita dalami lebih lanjut mengenai nilai optimum pada program linier melalui contoh soal dan pembahasan program linier berikut ini.

Bu Lala membutuhkan dua meter kain A dan tiga Meter kain B untuk membuat mukena, sedangkan untuk membuat gaun Bu Lala membutuhkan satu meter kain A dan satu meter kain B. Jika Bu Lala memiliki sepuluh meter kain A dan sepuluh kain B, tentukan berapa banyak jumlah mukena dan gaun maksimal yang bisa dibuat dari kain tersebut oleh Bu Lala !

Pembahasan:

Mukena : 2A ≤ 10 dan 3B ≤ 10

Gaun : A ≤ 10 dan B ≤ 10

Misalnya kain dimaksimalkan untuk dibuat mukena :

2A ≤ 10

A ≤ 5

3B ≤ 10

B ≤ 10/3

Maksimal bisa membuat 3 mukena.

Kebutuhan kain B = 3×3 = 9

Kebutuhan kain A = 2×3 = 6

Masih menyisakan satu meter kain A dan empat meter kain B, dapat dioptimasi dengan membuat satu gaun.

Kebutuhan kain B = 3 × 3 + 1 = 10

Kebutuhan kain A = 2 × 3 + 1 = 7

Jadi maksimal bisa membuat 3 mukena, 1 gaun, dan menyisakan 3 meter kain B.

Misalnya kain dimaksimalkan untuk dibuat gaun :

A ≤ 10

B ≤ 10

Maksimal bisa membuat 10 gaun, tanpa sisa kain.

Jumlah maksimal yang bisa dibuat dari kain tersebut oleh Bu Lala adalah 3 mukena dan 1 gaun atau 10 gaun.

Penerapan Program Linear Dua Variabel

Dalam kehidupan sehari-hari tentu banyak masalah yang berkaitan dengan perhitungan, seperti dalam ekonomi, sosial, industri dan milier. Misalnya dalam berdagang seorang pedagang pasti ingin mendapat keuntungan atau laba yang besar / maksimum, maka dengan menggunakan program linear pedagang tersebut dapat menghitung maksimum laba yang bisa diperoleh seorang pedagang. Untuk lebih memahami program linier dua variabel, perhatikanlah 3 contoh soal program linier metode grafik.

Contoh Soal Program Linier Metode Grafik

Contoh Soal Pertama

Pak Djuna memiliki area parkir seluas 1.960 m2. Luas rata-rata untuk mobil berukuran kecil adalah 4 m2 dan mobil besar adalah 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 220 kendaraan, biaya parkir mobil kecil adalah Rp 5.000,- / jam dan mobil besar adalah Rp 10.000,- / jam. Jika dalam 1 jam area parker Pak Djuna terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

Pembahasan:

K + B ≤ 220

4K + 20B ≤ 1.960

K ≥ 0

B ≥ 0

Gambarkan garis dari pertidaksamaan tersebut dengan membuat titik-titik ! temukan titik-titik tersebut dengan nilai K = 0 dan B = 0.

program linier 1
Sumber: Dokumentasi Penulis

0 × 5.000 + 98 × 10.000 = 980.000

152,5 × 5.000 + 67,5 × 10.000 = 1.437.500

220 × 5.000 + 0 × 10.000 = 1.100.000

Jadi hasil maksimum tempat parkir Pak Djuna selama satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang adalah Rp. 1.437.500,-.

Contoh Soal Kedua

Pak Budi berdagang minuman, memiliki modal Rp 500.000,-. Ia berencana membeli beberapa jenis minuman. Minuman A dibeli dengan harga Rp 5.000,- per botol dan dijual laba Rp 1.000,- per botol. Minuman B dibeli dengan harga Rp8.000,- per botol dan dijual dengan laba Rp 2.000,- per botol. Bila kotak wadah hanya mampu menampung 65 botol minuman, maka keuntungan maksimum yang dapat diraih oleh Pak Budi adalah ….

Pembahasan

A + B ≤ 65

5.000A + 8.000B ≤ 500.000 à 5A + 8B ≤ 500

100 62,5

A ≥ 0

B ≥ 0

Gambarkan garis dari pertidaksamaan tersebut dengan membuat titik-titik ! temukan titik-titik tersebut dengan nilai A = 0 dan B = 0.

contoh program linier 2
Sumber: Dokumentasi Penulis

0 × 1.000 + 62,5 × 2.000  = 125.000

6,666 × 1.000 + 58,333 × 2.000  = 123.332

65 × 1.000 + 0 × 2.000  = 65.000

Jadi keuntungan maksimum yang dapat diraih oleh Pak Budi dari berdagang minuman adalah Rp. 125.000,-.

Contoh Soal Ketiga

Bu Dewi mempunyai gudang yang hanya dapat menampung paling banyak 70 peti barang. Setiap peti barang A dibeli dengan harga Rp 300.000,- dan akan dijual dengan untung Rp 50.000,-. Setiap peti barang B dibeli dengan harga Rp 200.000,- akan dijual dengan untung Rp 30.000,-. Jika modal yang tersedia Rp 15.000.000,- maka untung maksimum yang diperoleh adalah ….

Pembahasan:

A + B ≤ 70

300.000A + 200.000B ≤ 15.000.0000 à 3A + 2B ≤ 150

50 75

A ≥ 0

B ≥ 0

Gambarkan garis dari pertidaksamaan tersebut dengan membuat titik-titik ! temukan titik-titik tersebut dengan nilai A = 0 dan B = 0.

program linier 3
Sumber: Dokumentasi Penulis

0 × 50.000 + 70 × 30.000 = 2.100.000

10 × 50.000 + 60 × 30.000 = 2.300.000

50 × 50.000 + 0 × 30.000 = 2.500.000

Untung maksimum dari gudang yang diperoleh oleh Bu Dewi adalah 2.500.000,-.

Baca juga: Operasi Vektor

Demikianlah pejelasan mengenai materi program linier. Semoga kalian semua bisa menerapkan dan mengaplikasikan program linier dalam kehidupan sehari-hari.


Daftar Pustaka

Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Artikel Terbaru

Yatini

Yatini

Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

Komentar

Tulis Komentar Anda

Your email address will not be published. Required fields are marked *