Eksponensial: Pengertian, Bentuk dan Sifat

Eksponen merupakan salah satu materi yang banyak penerapannya dalam kehidupan. Seperti mengetahui perkembangan bakteri dan virus. Nah sekarang mari kita pelajari lebih lanjut materi eksponen ini.

Pengertian Fungsi

Fungsi eksponensial adalah pemetaan bilangan real x ke a dengan bentuk umum:

f(x) = a^x

f(x) = fungsi x

a = basis bilangan berpangkat, a∈R

x = pangkat, x adalah bilangan bulat positif

Contoh soal

Tentukanlah nilai fungsi berikut untuk x = 3 !

f(x) = 1^x

f(x) = 2^–x

f(x) = 3^1/x

Penyelesaian:

Jadi nilai fungsi f(x) = 1^x, f(x) = 2^–x, f(x) = 1/3^x untuk x = 3 secara berurutan adalah 1, 1/8, dan 1/27.

Fungsi Eksponensial dan Grafiknya

Fungsi eksponensial adalah pemetaan bilangan real x ke a dengan ketentuan a > 0, a ≠ 1, x∈R. Fungsi Eksponensial dengan memiliki sifat diantaranya adalah sebagai berikut:

• Kurva yang terletak di atas sumbu x yang berfungsi sebagai bilangan positif
• Grafik memotong tegak lurus sumbu y hanya di titik ( 0,1 ).
• Grafik yang menanjak pada bilangan x > 1
• Grafik yang menurun pada bilangan 0 < x < 1.

Contoh soal

Suatu bakteri dapat berkembang biak menjadi dua kali lipat dalam satu detik. Tentukanlah bentuk fungsi, gambar dan sifatnya !

Penyelesaian:

Variabel bebas adalah waktu t dalam detik, sehingga

f(t) = 2^t

Buat tabel waktu dan jumlah bakteri

Buatlah grafik antara waktu (detik) dan jumlah bakteri

Sifat fungsi eksponensial f(t) = 2^t adalah

• Kurva yang terletak di atas sumbu x yang berfungsi sebagai bilangan positif
• Grafik memotong tegak lurus sumbu y hanya di titik ( 0,1 ).
• Grafik yang menanjak pada bilangan x > 1

Baca juga: Operasi Aljabar pada Fungsi

Bentuk Bilangan Eksponensial

Bilangan eksponensial adalah perkalian bilangan yang sama sehingga perkalian tersebut dapat berulang dengan makna yang sama sebagai singkatan dari perkalian. Jika a bilangan real dan x bilangan bulat positif, maka persaamaan eksponensial merupakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis

a^x = a × a × a × a × …. × a.

a = basis bilangan berpangkat

x = pangkat

Berikut adalah beberapa bentuk bilangan eksponensial :

Bilangan eksponensial nol

Bilangan eksponensial nol adalah suatu bilangan eksponensial dengan a berpangkat nol dan bernilai sama dengan satu. Jika a bilangan real, maka :

a⁰ = 1

Bilangan eksponensial negatif

Bilangan eksponensial negatif adalah suatu bilangan eksponensial dengan a berpangkat negatif. Jika a bilangan real, a ≠ 0, dan x bilangan bulat positif, maka :

a^-x = (1/a)^x

Bilangan eksponensial pecahan

Bilangan eksponensial pecahan adalah suatu bilangan eksponensial dengan a berpangkat pecahan. Jika a bilangan real, a ≠ 0, dan x bilangan bulat positif, maka:

Contoh soal

Ubahlah bilangan 1029/3, 16/128, 64^1/3 menjadi bentuk bilangan ekponensial yang paling sederhana !

Penyelesaian:

Jadi bentuk sederhana dari 1029/3, 16/128, 64^1/3 secara berurutan adalah bilangan eksponensial 7³, 2^-3, dan 2².

Bentuk Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya, bilangan pokoknya, atau keduanya  memuat suatu variabel. Ada pun bentuk-bentuk persamaan eksponen yaitu :

Bentuk persamaan a^f(x) = 1

Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan a^f(x) = 1 gunakan sifat :

a^f(x) = 1 ⇔f(x) = 0

Bentuk persamaan a^f(x) = a^p atau a^f(x) = a^g(x)

Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen a^f(x) = a^p atau a^f(x) = a^g(x) ditentukan dengan cara menyamakan pangkat kedua ruas.

a^f(x) = a^p ⇔ f(x) = p

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

Jika a ≠ b ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1, maka himpunan penyelesaian persamaan eksponen a^f(x) = b^f(x)  dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x) dengan nol.

a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0

Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)

Jika a ≤ b ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1, dan f(x) ≠ g(x) maka, himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen a^f(x) = b^g(x) dengan melogaritmakan kedua ruas.

a^f(x) = b^g(x)⇔ log a^f(x) = log b^g(x)

Bentuk Persamaan A[a^f(x)]² + B[a^f(x)]+ C = 0

Penyelesaian persamaan eksponen untuk bentuk  persamaan kuadrat A[a^f(x)]² + B[a^f(x)]+ C = 0 dengan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

Bentuk persamaan f(x)^g(x) = 1

Penyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk f(x)^g(x) = 1 adalah :

Pertama f(x) = 1 karena bilangan satu dipangkatkan berapapun nilainya adalah satu.

Kedua f(x) = -1 untuk f(x) ≠ g(x) dengan ketentuan g(x) adalah bilangan genap positif karena minus satu dipangkatkan bilangan genap adalah satu.

Ketiga  g(x) = 0 untuk f(x) ≠ g(x) karena bilangan berpangkat berapun dipangkatkan nol adalah satu.

Baca juga: Yuk Pelajari Materi Logaritma

Bentuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Himpunan penyelesaian bentuk eksponen f(x)^g(x) = f(x)^h(x) adalah :

Pertama g(x) = h(x) karena bilangan pokoknya sama, maka pangkatnya harus sama.

Kedua f(x) = 1 untuk g(x) ≠ h(x) karena bilangan satu dipangkatkan berapapun nilainya adalah satu.

Ketiga f(x) = -1 untuk g(x) ≠ h(x) dengan ketentuan g(x) dan h(x) harus sama-sama merupakan bilangan genap atau ganjil karena bilangan minus satu dipangkatkan genap sama dengan satu atau bilangan minus satu dipangkatkan ganjil sama dengan minus satu.

Keempat f(x) = 0 untuk g(x) ≠ h(x) dengan ketentuan g(x) > 0 dan h(x) > 0 karena nol dipangkatkan bilangan positif adalah sama dengan nol.

Bentuk persamaan f(x)^g(x) = h(x)^g(x)

Himpunan penyelesaian bentuk eksponen f(x)^g(x) = h(x)^g(x) adalah :

Pertama f(x) = h(x) karena pangkatnya sama, maka bilangan pokoknya harus sama.

Kedua g(x) = 0 untuk f(x) ≠ h(x), f(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0 karena bilangan real berapapun selain nol dipangkatkan nol adalah satu.

Contoh soal

Tentukan himpunan penyelesaian untuk persamaan eksponensial berikut !

7^x = 1

2^x = 16

3^x = 3^7x-1; 1^x = -1^x

[9^x] –2[3^x] + 1 = 0

2x^1-x = 1; 2x^1-x = 2x^x+3

2x^1-x = (4-x)^1-x

Penyelesaian:

Sifat-Sifat Bilangan Eksponensial

Jika a bilangan real, a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka

a^m×aⁿ = a^m+n

a^m/aⁿ = a^m-n

(a^m)ⁿ = a^mn

a^m/n = (a^1/n)^m

a^1/m = p à p^m = a

Jika a bilangan real, a > 0, p/n, p/q dan m/n adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka (a^m/n)(a^p/n) = a^(m+p)/n

(a^m/n)(a^p/q) = a^{m/n + p/q}

Jika a bilangan real, a > 0, p/q adalah bilangan pecahan q ≠ 0, q ≥ 2, maka

Contoh soal

Sifat Bilangan Eksponensial Pada Operasi Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika p, q, dan r adalah bilangan real, r ≥ 0, dengan bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama maka berlaku sifat-sifat:

Operasi pekalian dan pembagian bentuk akar

Jika a, b, c, d bilangan real, a > 0, c > 0, d > 0, maka berlaku sifat-sifat :

Merasionalkan penyebut bentuk akar

Contoh soal

Tentukanlah nilai dari

Baca juga: Persamaan Linear Tiga Variabel

Pemahaman Akhir

Materi eksponen merupakan salah satu konsep matematika yang memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari, seperti dalam mempelajari perkembangan bakteri dan virus. Dalam eksponen, kita mengenal fungsi eksponensial yang merupakan pemetaan bilangan real x ke pangkat a. Fungsi ini memiliki sifat-sifat tertentu, seperti kurva yang terletak di atas sumbu x dan memotong tegak lurus sumbu y hanya di titik (0, 1).

Dalam eksponen, terdapat juga pembahasan mengenai bentuk bilangan eksponensial, yang mencakup bilangan eksponensial nol, bilangan eksponensial negatif, dan bilangan eksponensial pecahan. Contoh soal diberikan untuk mengubah bilangan-bilangan menjadi bentuk eksponensial yang paling sederhana.

Selain itu, kita juga mempelajari bentuk persamaan eksponensial dan cara menyelesaikannya. Terdapat beberapa bentuk persamaan eksponensial, seperti bentuk persamaan af(x) = 1, bentuk persamaan af(x) = ap atau af(x) = ag(x), dan bentuk persamaan af(x) = bf(x). Himpunan penyelesaian persamaan tersebut ditentukan dengan menyamakan pangkat kedua ruas atau menyamakan fungsinya.

Dalam eksponen, terdapat pula pembahasan mengenai sifat-sifat bilangan eksponensial, seperti aturan perkalian dan pembagian, aturan pangkat, serta operasi pada bentuk akar. Contoh soal diberikan untuk menguji pemahaman tentang sifat-sifat bilangan eksponensial pada operasi bentuk akar dan merasionalkan penyebut bentuk akar.

Dengan memahami konsep-konsep dalam eksponen, diharapkan kita dapat memahami penerapan dan menerapkan materi eksponen secara lebih baik dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam pemecahan masalah matematika.

Demikianlah penjelesan dari materi eksponensial. Semoga kamu dapat belajar dari sini dan memahaminya. 

Sumber:

Sinaga, Bornok dkk. 2014. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.