Vektor Matematika IPA

Hai, bagaimana kabarmu hari ini? Semoga dalam keadaan baik ya. Kali ini kita akan bahas mengenai Vektor. Sebenarnya apa sih vektor itu? Untuk mengetahui lebih dalam mengenai vektor, maka kamu simak ya pembahasan kali ini.

Dalam bidang fisika, terdapat dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor.

1. Besaran skalar yaitu suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja, tetapi tidak mempunyai arah. Aljabar yang berlaku bagi besaran skalar adalah aljabar bilangan real.
2. Besaran vektor yaitu suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah, dan didalamnya berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.

Vektor

Ruas garis berarah disamping adalah sebuah vektor. Ruas garis dengan titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor . Panjang vektor  ini dilambangkan dengan .

Cara penulisan vektor yang lain, dapat dituliskan sebagai berikut:

1. Huruf kecil yang di bold atau dicetak tebal, seperti a, b, c.

Misalnya, vektor  di atas dituliskan sebagai vektor a.

2. Huruf kecil yang diatasnya dibubuhi tanda panah.

Kamu bebas memilih penulisan vektor tersebut. Pada artikel ini saya akan menggunakan penulisan vektor dengan huruf kecil yang dicetak tebal.

Baca juga: Dimensi Tiga Matematika

Panjang Vektor

Sekarang perhatikan, titik A dan B pada bidang kartesius di bawah ini.

Bidang kartesius diatas menunjukkan vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0,0) ke titik A(a₁, a­₂). Oleh karena itu, vektor a dapat dituliskan dalam bentuk pasangan terurut a = (a₁, a₂). Ada juga vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0,0) ke titik B (b₁, b₂). Vektor b dapat kamu tuliskan sebagai b = (b₁, b­₂).

Dengan menggunakan rumus jarak, kamu dapat menentukan panjang vektor a dan b, yaitu:

Dengan menarik ruas garis dari titik A ke titik B, kamu dapat mendapatkan vektor c. dengan menggunakan rumus jarak, vektor c ini dapat dituliskan sebagai sehingga panjang vektor c adalah:

Apabila vektor c arahnya dibalik, maka didapat vektor –c, yaitu vektor yang memiliki panjang sama dengan panjang vektor c dengan arah berlawanan. Vektor ini disebut invers dari vektor c. Bentuk pasangan terurut untuk vektor -c adalah vektor –c = (a₁ – b₁, a₂ – b₂). Panjangnya adalah:

Vektor Satuan

Untuk setiap vektor a dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a dengan syarat vektor a yang bukan vektor nol, yang dilambangkan dengan . Vektor satuan memiliki arah yang searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Jika vektor  maka vektor satuan dari a dapat dirumuskan sebagai berikut:

Vektor-vektor satuan  dan dapat dinyatakan dengan vektor kolom, seperti dibawah ini:

Panjang Vektor R³

Dengan pemahaman yang sama seperti vektor dibidang (R²), kamu dapat memahami vektor pada ruang (R³). Ambil sebarang titik A(a₁, a₂, a₃) dan B (b₁, b₂, b₃) pada ruang (R³), maka kamu dapat menuliskan vektor a yang mewakili vektor  dan vektor b yang mewakili vektor , dalam bentuk pasangan terurut dituliskan sebagai berikut:

Vektor Satuan Pada Ruang (R³)

Jika vektor , maka vektor satuan dari a dapat dirumuskan sebagai berikut:

Vektor-vektor satuan dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom, yaitu:

Contoh

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0,3,5), B(2,4,6), dan C(4,3,1).

Tentukan:

a. Panjang dari vektor x yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B

b. Panjang vektor y yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C

c. Panjang vektor z yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C

d. Keliling segitiga ABC

Penyelesaian:

a. Vektor x yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka x = . Panjang vektor x adalah

b. Vektor y yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka y =

Panjang vektor y adalah

c. Vektor z yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka z =

Panjang vektor z adalah

d. Keliling segitiga ABC adalah

Operasi Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Perhatikan titik A(a₁, a₂), B(b₁, b₂), dan C(c₁, c₂), pada koordinat Cartesius di bawah ini!

Pada gambar di atas, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut:

1. a = (b₁ – a₁, b₂ – a₂)

Dapat pula ditulis,

2. b = (c₁ – b₁, c₂ – b₂)

Dapat pula ditulis,

3. c = (c₁ – a₁, c₂ – a₂)

Dapat pula ditulis,

Sekarang, jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor di atas dalam bentuk matriks kolom, maka kamu dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh:

Perhatikan bahwa .

Uraian di atas menunjukkan bahwa a + b + c. Secara geometris, penjumlahan vektor a dan b, dapat kamu kerjakan dengan dua cara, yaitu:

1. Cara Segitiga

Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung dari vektor a. Jumlah dari vektor a dan vektor b didapat dengan cara menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. akibatnya, a + b + c.

2. Cara Jajargenjang

Ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B ditunjukkan oleh vektor a, dan vektor b adalah ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dengan cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C.

Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh

Oleh karena , maka a + b = c.

Kemudian, jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b (-b), maka kamu mendapatkan penjumlahan vektor a + (-b) sebagai berikut.

Seperti pada bilangan real, kamu dapat menuliskan a + (-b) = a – b .

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kamu dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut.

Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan:

1. b + c = a
2. d + e = c
3. b + d + e = a

Baca juga: Statistika Matematika

Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan Vektor

Misalkan diketahui vektor-vektor sebarang a, b, dan c. Maka sifar-sifat operasi penjumlahan vektor seperti dibawah ini.

1. Sifat komutatif = a + b = b + a
2. Sifat asosiatif = (a + b) + c = a + (b + c)
3. Unsur identitas atau unsur satuan (0) = 0 + a = a + 0 = a
4. Dalam operasi penjumlahan vektor, setiap vektor memiliki lawan bagi vektor itu. Contohnya vektor a adalah lawan bagi vektor b (dan sebaliknya), maka berlaku sifat: a + b = 0

Contoh

Diketahui vektor a = (0, -2, -1), vektor b = (2, 3, 4), dan vektor c = (-3, 0, 3), tentukan:

1. a + b
2. b – c
3. (a + b) + c

Penyelesaian:

1. a + b = (0, -2, -1) + (2, 3, 4) = (0 + 2, -2 + 3, -1 + 4) = (2, 1,3)

Jadi, a + b = (2, 1,3)

2. b – c = (2, 3, 4) + (-3, 0, 3) = (2 – (-3), 3 – 0, 4 – 3) = (5, 3, 1)

Jadi, b – c = (5, 3, 1)

3. (a + b) + c = (2, 1,3)+ (-3, 0, 3) =(2 + (-3), 1 + 0, 3 + 3) = (-1, 1, 6)

Jadi, (a + b) + c = (-1, 1, 6)

Perkalian Skalar dengan Vektor

Dalam operasi penjumlahan di atas, kamu akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan cara mengalikan k dengan setiap komponen-komponen vektor u. Hal ini mengakibatkan vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang .

Jika k skalar tidak sama dengan nol dan vektor u = (u₁, u₂, …, u_n), maka ku = (ku₁, ku₂, …, ku_n).

Dalam perkalian skalar dengan vektor, jika k > 0, maka vektor ku memiliki arah yang sama dengan vektor u. Begitu juga sebaliknya, jika k < 0, maka vektor ku memiliki arah yang berlawanan dengan arah vektor u.

Contoh

Diketahui vektor a = (1,4,5) dan vektor b = (2,3,2), tentukan vektor c = 2a + 3b.

Penyelesaian:

Jadi, vektor c = 2a + 3b = (8, 17, 16)

Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor

Jika a, b, dan c merupakan vektor-vektor di R² atau di R³ dan k serta l adalah skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut:

Perbandingan Vektor

Pada gambar di atas, titik C berada di ruas garis AB sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n. Diperoleh hubungan sebagai berikut:

AC : CB = m : n atau dapat juga dituliskan AC : AB = m : (m + n)

Tanda pada m dan n ditentukan dengan aturan:

1. Jika titik C di antara ruas garis AB, maka . Jadi m dan n memiliki tanda yang sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negatif).
2. Jika titik C berada pada perpanjangan ruas garis AB, maka berlawanan arah. Dengan demikian, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).

Rumus perbandingan vektor

Misalkan vektor posisi titik A adalah a dan vektor posisi titik B adalah b. Titik C berada pada ruas garis AB sehingga didapat perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor posisi C adalah c ditentukan dengan rumus:

Contoh

Vektor posisi titik A dan vektor posisi titik B berturut-turut adalah a dan b. Titik C dan titik D pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 1 : 3. Tentukan vektor posisi titik C.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar dibawah ini.

Titik C pada ruas garis AB sehingga diperoleh perbandingan AC : CB = 1 : 3 sehingga didapat m = 1 dan n = 3.

Vektor posisi titik C adalah vektor c ditentukan dengan cara:

Jadi, vektor posisi titik C adalah

Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

Jika vektor a dan vektor b merupakan vektor-vektor tak nol dan sudut di antara vektor a dan b, maka perkalian skalar dan vektor a dan vektor b didefinisikan oleh .

Perkalian skalar dua vektor ini didefinisikan dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut:

Jika a = (a₁, a₂, …, a_n) dan b = (b₁, b₂, …, b_n) adalah sebarang vektor pada R³, maka hasil kali dalam atau perkalian skalarnya adalah a.b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n

Dalam perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat sebagai berikut:

Jika a, b, dan c vektor-vektor di R² atau R³ dan k skalar tak nol, maka:

Perhatikan gambar dibawah ini.

Vektor c adalah proyeksi dari vektor a pada vektor b.

Perhatikan segitiga AOB!

Pada segitiga AOB,

Jadi, panjang proyeksi vektor c adalah

Setelah mengetahui panjang vektor c, kamu dapat juga menentukan vektor proyeksi dari vektor c yaitu:

Karena vektor c berimpit dengan b maka vektor satuan c adalah

Jadi,

Secara matematis, proyeksi vektor a pada vektor b dapat dituliskan sebagai berikut: vektor

Contoh

Diketahui vektor a = (1, -1, 0) dan vektor b = (-1, 2, 2). Tentukanlah:

a. Besar sudut yang berada di antara vektor a dan vektor b

b. Panjang proyeksi a pada vektor b

c. Vektor proyeksi a pada vektor b

Penyelesaian:

a. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b, tentukan terlebih dahulu a . b, .

Misalkan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah , maka:

Didapat

b. Misalkan vektor proyeksi a pada vektor b adalah c, maka:

Jadi panjang proyeksi vektor c adalah 1.

c. Vektor proyeksi a pada vektor b

Baca juga: Materi Permutasi dan Kombinasi

Pemahaman Akhir

Dalam matematika dan fisika, terdapat dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja tanpa arah. Di sisi lain, besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, dan mematuhi aljabar khusus yang disebut aljabar vektor.

Vektor direpresentasikan dengan panah berarah yang menghubungkan dua titik, dan panjangnya dilambangkan dengan simbol |v|. Cara penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal atau huruf kecil dengan tanda panah di atasnya.

Panjang vektor pada bidang kartesius R2 atau ruang R3 dapat dihitung menggunakan rumus jarak. Jika vektor a mewakili perpindahan dari titik O(0,0) ke titik A(a1, a2) atau A(a1, a2, a3), maka panjang vektor a adalah |a| = √(a1^2 + a2^2) atau |a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2).

Operasi vektor meliputi penjumlahan dan pengurangan vektor, yang dapat dihitung dengan menggabungkan komponen-komponen vektor. Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan vektor seperti komutatif, asosiatif, dan identitas berlaku untuk operasi ini.

Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi yang menghasilkan vektor baru dengan mengalikan skalar dengan setiap komponen vektor. Perkalian skalar dengan vektor ini mempengaruhi panjang dan arah vektor.

Perbandingan vektor menggambarkan pemecahan suatu vektor oleh titik pada garis lurus. Dalam perbandingan vektor, aturan pemecahan vektor menjadi komponen diketahui menggunakan rumus tertentu.

Perkalian skalar dua vektor atau perkalian dot merupakan hasil kali dari masing-masing komponen vektor yang digabungkan. Sudut antara vektor a dan vektor b dapat dihitung menggunakan rumus: a · b = |a| |b| cos θ, dengan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut. Proyeksi vektor a pada vektor b adalah proyeksi vektor a pada arah vektor b, yang dapat dihitung dengan rumus: proj_b(a) = (a · b / |b|^2) b. Proyeksi vektor ini berguna dalam banyak aplikasi, seperti fisika dan rekayasa.

Dalam memahami vektor, penting untuk memahami sifat-sifat dan operasi vektor yang ada, karena vektor merupakan konsep dasar yang diterapkan dalam berbagai cabang ilmu pengetahuan, termasuk fisika, matematika, dan teknik.

Untuk lebih mendalami materi, coba latih kemampuan kamu dengan mengerjakan beberapa soal. Demikian akhir dari artikel ini, semoga bermanfaat dan dapat membantu memahami materi vektor ini ya!

Daftar Pustaka:

Pesta dan Anwar, Cecep.2008.Matematika Kelas 12.Jakarta:Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional