Vektor Matematika IPA

Hai, bagaimana kabarmu hari ini? Semoga dalam keadaan baik ya. Kali ini kita akan bahas mengenai Vektor. Sebenarnya apa sih vektor itu? Untuk mengetahui lebih dalam mengenai vektor, maka kamu simak ya pembahasan kali ini.

Dalam bidang fisika, terdapat dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor.

  1. Besaran skalar yaitu suatu besaran yang hanya mempunyai nilai saja, tetapi tidak mempunyai arah. Aljabar yang berlaku bagi besaran skalar adalah aljabar bilangan real.
  2. Besaran vektor yaitu suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah, dan didalamnya berlaku aljabar khusus yang dikenal sebagai aljabar vektor.

Vektor

vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Ruas garis berarah disamping adalah sebuah vektor. Ruas garis dengan titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor vektor. Panjang vektor vektor ini dilambangkan dengan vektor.

Cara penulisan vektor yang lain, dapat dituliskan sebagai berikut:

1. Huruf kecil yang di bold atau dicetak tebal, seperti a, b, c.

Misalnya, vektor vektor di atas dituliskan sebagai vektor a.

2. Huruf kecil yang diatasnya dibubuhi tanda panah.

Kamu bebas memilih penulisan vektor tersebut. Pada artikel ini saya akan menggunakan penulisan vektor dengan huruf kecil yang dicetak tebal.

Baca juga: Dimensi Tiga Matematika

Panjang Vektor

Sekarang perhatikan, titik A dan B pada bidang kartesius di bawah ini.

vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Bidang kartesius diatas menunjukkan vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0,0) ke titik A(a1, a­2). Oleh karena itu, vektor a dapat dituliskan dalam bentuk pasangan terurut a = (a1, a2). Ada juga vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0,0) ke titik B (b1, b2). Vektor b dapat kamu tuliskan sebagai b = (b1, b­2).

vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Dengan menggunakan rumus jarak, kamu dapat menentukan panjang vektor a dan b, yaitu:

Dengan menarik ruas garis dari titik A ke titik B, kamu dapat mendapatkan vektor c. dengan menggunakan rumus jarak, vektor c ini dapat dituliskan sebagai sehingga panjang vektor c adalah:

vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Apabila vektor c arahnya dibalik, maka didapat vektor –c, yaitu vektor yang memiliki panjang sama dengan panjang vektor c dengan arah berlawanan. Vektor ini disebut invers dari vektor c. Bentuk pasangan terurut untuk vektor -c adalah vektor –c = (a1 – b1, a2 – b2). Panjangnya adalah:

vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Vektor Satuan

Untuk setiap vektor a dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor a dengan syarat vektor a yang bukan vektor nol, yang dilambangkan dengan vektor . Vektor satuan memiliki arah yang searah dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Jika vektor vektor maka vektor satuan dari a dapat dirumuskan sebagai berikut:

vektor satuan
Sumber: Dokumentasi Penulis

Vektor-vektor satuan vektor dan vektor dapat dinyatakan dengan vektor kolom, seperti dibawah ini:vektor

Panjang Vektor R3

Dengan pemahaman yang sama seperti vektor dibidang (R2), kamu dapat memahami vektor pada ruang (R3). Ambil sebarang titik A(a1, a2, a3) dan B (b1, b2, b3) pada ruang (R3), maka kamu dapat menuliskan vektor a yang mewakili vektor vektor dan vektor b yang mewakili vektor vektor, dalam bentuk pasangan terurut dituliskan sebagai berikut:

vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Vektor Satuan Pada Ruang (R3)

Jika vektor vektor, maka vektor satuan dari a dapat dirumuskan sebagai berikut:

vektor satuan r3
Sumber: Dokumentasi Penulis

Vektor-vektor satuan vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom, yaitu:vektor

Contoh

Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0,3,5), B(2,4,6), dan C(4,3,1).

Tentukan:

a. Panjang dari vektor x yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B

b. Panjang vektor y yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C

c. Panjang vektor z yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C

d. Keliling segitiga ABC

Penyelesaian:

a. Vektor x yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka x = vektor. Panjang vektor x adalah vektor

b. Vektor y yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka y = vektor

Panjang vektor y adalah vektor

c. Vektor z yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka z = vektor

Panjang vektor z adalah vektor

d. Keliling segitiga ABC adalah vektor

Operasi Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Perhatikan titik A(a1, a2), B(b1, b2), dan C(c1, c2), pada koordinat Cartesius di bawah ini!

penjumlaahan dan pengurangan vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Pada gambar di atas, vektor a, b, dan c dapat kalian tulis sebagai berikut:

1. a = (b1 – a1, b2 – a2)

Dapat pula ditulis, penjumlaahan dan pengurangan vektor

2. b = (c1 – b1, c2 – b2)

Dapat pula ditulis, penjumlaahan dan pengurangan vektor

3. c = (c1 – a1, c2 – a2)

Dapat pula ditulis, penjumlaahan dan pengurangan vektor

Sekarang, jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor di atas dalam bentuk matriks kolom, maka kamu dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks. Dengan aturan ini, akan diperoleh:

penjumlaahan dan pengurangan vektor

Perhatikan bahwa penjumlaahan dan pengurangan vektor.

Uraian di atas menunjukkan bahwa a + b + c. Secara geometris, penjumlahan vektor a dan b, dapat kamu kerjakan dengan dua cara, yaitu:

1. Cara Segitiga

Dalam cara ini, titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung dari vektor a. Jumlah dari vektor a dan vektor b didapat dengan cara menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini diwakili oleh vektor c. akibatnya, a + b + c.

cara segitiga
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

2. Cara Jajargenjang

cara jajargenjang
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B ditunjukkan oleh vektor a, dan vektor b adalah ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik D. Dengan cara jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C.

Dengan membuat jajargenjang ABED, akan diperoleh

cara jajargenjang

Oleh karena cara jajargenjang, maka a + b = c.

Kemudian, jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b (-b), maka kamu mendapatkan penjumlahan vektor a + (-b) sebagai berikut.

cara jajargenjang
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Seperti pada bilangan real, kamu dapat menuliskan a + (-b) = a b .

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kamu dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut.

cara jajargenjang
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008
cara jajargenjang
Sumber: Dokumentasi Penulis
cara jajargenjang
Sumber: Dokumentasi Penulis

Perhatikan gambar berikut!

penjumlahan dan pengurangan vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan:

  1. b + c = a
  2. d + e = c
  3. b + d + e = a

Baca juga: Statistika Matematika

Sifat-Sifat Operasi Penjumlahan Vektor

Misalkan diketahui vektor-vektor sebarang a, b, dan c. Maka sifar-sifat operasi penjumlahan vektor seperti dibawah ini.

  1. Sifat komutatif = a + b = b + a
  2. Sifat asosiatif = (a + b) + c = a + (b + c)
  3. Unsur identitas atau unsur satuan (0) = 0 + a = a + 0 = a
  4. Dalam operasi penjumlahan vektor, setiap vektor memiliki lawan bagi vektor itu. Contohnya vektor a adalah lawan bagi vektor b (dan sebaliknya), maka berlaku sifat: a + b = 0

Contoh

Diketahui vektor a = (0, -2, -1), vektor b = (2, 3, 4), dan vektor c = (-3, 0, 3), tentukan:

  1. a + b
  2. bc
  3. (a + b) + c

Penyelesaian:

1. a + b = (0, -2, -1) + (2, 3, 4) = (0 + 2, -2 + 3, -1 + 4) = (2, 1,3)

Jadi, a + b = (2, 1,3)

2. bc = (2, 3, 4) + (-3, 0, 3) = (2 – (-3), 3 – 0, 4 – 3) = (5, 3, 1)

Jadi, b c = (5, 3, 1)

3. (a + b) + c = (2, 1,3)+ (-3, 0, 3) =(2 + (-3), 1 + 0, 3 + 3) = (-1, 1, 6)

Jadi, (a + b) + c = (-1, 1, 6)

Perkalian Skalar dengan Vektor

Dalam operasi penjumlahan di atas, kamu akan mendapatkan sebuah vektor baru yang setiap komponen-komponennya diperoleh dengan cara mengalikan k dengan setiap komponen-komponen vektor u. Hal ini mengakibatkan vektor baru tersebut segaris dengan vektor u dan memiliki panjang Perkalian skalar dengan vektor.

Jika k skalar tidak sama dengan nol dan vektor u = (u1, u2, …, un), maka ku = (ku1, ku2, …, kun).

Dalam perkalian skalar dengan vektor, jika k > 0, maka vektor ku memiliki arah yang sama dengan vektor u. Begitu juga sebaliknya, jika k < 0, maka vektor ku memiliki arah yang berlawanan dengan arah vektor u.

Perkalian skalar dengan vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Contoh

Diketahui vektor a = (1,4,5) dan vektor b = (2,3,2), tentukan vektor c = 2a + 3b.

Penyelesaian:

Perkalian skalar dengan vektor

Jadi, vektor c = 2a + 3b = (8, 17, 16)

Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Vektor

Jika a, b, dan c merupakan vektor-vektor di R2 atau di R3 dan k serta l adalah skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut:

Perkalian skalar dengan vektor

Perbandingan Vektor

perbandingan vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Pada gambar di atas, titik C berada di ruas garis AB sehingga titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n. Diperoleh hubungan sebagai berikut:

AC : CB = m : n atau dapat juga dituliskan AC : AB = m : (m + n)

Tanda pada m dan n ditentukan dengan aturan:

  1. Jika titik C di antara ruas garis AB, maka Perbandingan vektor . Jadi m dan n memiliki tanda yang sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negatif).
  2. Jika titik C berada pada perpanjangan ruas garis AB, maka Perbandingan vektor berlawanan arah. Dengan demikian, m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).
perbandingan vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Rumus perbandingan vektor

perbandingan vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Misalkan vektor posisi titik A adalah a dan vektor posisi titik B adalah b. Titik C berada pada ruas garis AB sehingga didapat perbandingan AC : CB = m : n, maka vektor posisi C adalah c ditentukan dengan rumus:

perbandingan vektor

Contoh

Vektor posisi titik A dan vektor posisi titik B berturut-turut adalah a dan b. Titik C dan titik D pada ruas garis AB sehingga AC : CB = 1 : 3. Tentukan vektor posisi titik C.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar dibawah ini.

perbandingan vektor
Sumber: Dokumentasi Penulis

Titik C pada ruas garis AB sehingga diperoleh perbandingan AC : CB = 1 : 3 sehingga didapat m = 1 dan n = 3.

Vektor posisi titik C adalah vektor c ditentukan dengan cara:

perbandingan vektor

Jadi, vektor posisi titik C adalah perbandingan vektor

Perkalian Skalar Dua Vektor dan Proyeksi Vektor

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Jika vektor a dan vektor b merupakan vektor-vektor tak nol dan sudut di antara vektor a dan b, maka perkalian skalar dan vektor a dan vektor b didefinisikan oleh Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor.

Perkalian skalar dua vektor ini didefinisikan dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut:

Jika a = (a1, a2, …, an) dan b = (b1, b2, …, bn) adalah sebarang vektor pada R3, maka hasil kali dalam atau perkalian skalarnya adalah a.b = a1b1 + a2b2 + … + anbn

Dalam perkalian skalar dua vektor terdapat sifat-sifat sebagai berikut:

Jika a, b, dan c vektor-vektor di R2 atau R3 dan k skalar tak nol, maka:

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Perhatikan gambar dibawah ini.

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor
Sumber: Pesta dan Anwar, Cecep:2008

Vektor c adalah proyeksi dari vektor a pada vektor b.

Perhatikan segitiga AOB!

Pada segitiga AOB, Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Jadi, panjang proyeksi vektor c adalah Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Setelah mengetahui panjang vektor c, kamu dapat juga menentukan vektor proyeksi dari vektor c yaitu:

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Karena vektor c berimpit dengan b maka vektor satuan c adalah Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Jadi, Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Secara matematis, proyeksi vektor a pada vektor b dapat dituliskan sebagai berikut: vektor Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Contoh

Diketahui vektor a = (1, -1, 0) dan vektor b = (-1, 2, 2). Tentukanlah:

a. Besar sudut yang berada di antara vektor a dan vektor b

b. Panjang proyeksi a pada vektor b

c. Vektor proyeksi a pada vektor b

Penyelesaian:

a. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b, tentukan terlebih dahulu a . b, Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor .

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Misalkan besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor, maka:

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Didapat Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

b. Misalkan vektor proyeksi a pada vektor b adalah c, maka:

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Jadi panjang proyeksi vektor c adalah 1.

c. Vektor proyeksi a pada vektor b

Perkalian saklar dua vektor dan proyeksi vektor

Baca juga: Materi Permutasi dan Kombinasi

Untuk lebih mendalami materi, coba latih kemampuan kamu dengan mengerjakan beberapa soal. Demikian akhir dari artikel ini, semoga bermanfaat dan dapat membantu memahami materi vektor ini ya!


Daftar Pustaka:

Pesta dan Anwar, Cecep.2008.Matematika Kelas 12.Jakarta:Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional

Artikel Terbaru

Novi Arikta

Novi Arikta

Haloo!Nama saya Novi Arikta Dini. Saya tinggal di Pacitan, Jawa Timur. Saya lulusan S-1 Pendidikan Matematika di Universitas PGRI Madiun.Harapan saya dengan artikel yang saya tulis ini dapat memudahkan teman-teman dalam memahami materi Matematika.

Tulis Komentar Anda

Your email address will not be published. Required fields are marked *