Home Matematika Kelas 11 Matriks: Jenis, Determinan dan Invers

Matriks: Jenis, Determinan dan Invers

Matriks merupakan suatu pelajaran matematika yang memiliki banyak kegunaannya. Jika teman-teman pernah melihat susunan rak yang ada di supermarket dan juga sususan duduk teman-teman di kelas itu adalah sebagian kecil contoh matriks. Untuk mempelajari lebih dalam materi matriks bisa melalui artikel ini.

Pengertian Matriks

matriks png
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk kolom / baris / persegi / persegi panjang / segitiga / diagonal. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Bentuk dari matriks secara umum seperti berikut ini :

bentuk matriks
Sumber: Dokumentasi Penulis

Keterangan :

aij                  : entry matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan, i = 1, 2, 3, .., m; dan j = 1, 2, 3, …, n.

m × n        : menyatakan ordo matriks A dengan m adalah banyak baris dan n banyak kolom matriks A.

Baca juga: Materi Program Linier

Jenis-Jenis Matriks

Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja dengan beberapa baris. Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak baris pada matriks tersebut.

matriks kolom
Sumber: Dokumentasi Penulis

Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja dengan beberapa kolom. Biasanya, ordo matriks seperti ini adalah 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.

matrik baris
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks Persegi Panjang

Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya atau berbentuk persegi panjang. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n.

matriks persegi panjang
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama atau berbentuk persegi. Matriks ini memiliki ordo n × n.

matriks persegi
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks Segitiga

Matriks segitiga merupakan suatu matriks persegi berordo n × n dengan entry-entry matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol membentuk segitiga.

matriks segitiga
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks Diagonal

Matriks persegi dengan pola “semua entrynya bernilai nol, kecuali entry diagonal utama tidak semua nol” disebut matriks diagonal.

matriks diagonal
Sumber: Dokumentasi penulis

Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika :

  1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
  2. Setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j).

Contoh dua matriks yang sama :

kesamaan dua matrik
Sumber: Dokumentasi penulis

Dimana ordo matriks A sama dengan ordo matriks B yaitu 2 × 2, serta setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j).

Operasi Matriks

Penjumlahan Matriks

A dan B adalah matriks berordo m × n dengan entry-entry aij dan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis :

C = A + B

Apabila matriks C juga berordo m × n dengan entry-entry (untuk semua i dan j). ditentukan oleh:

cij = aij + bij

Misalkan B sebuah matriks dengan ordo n × m, n ∈ N. Hasilnya penjumlahan matriks B sebanyak k dengan k ∈ N adalah k B, hasilnya adalah matriks k B berordo n × n yang ditulis :

B + B + B + B = k B

Misalkan matriks A dan B berordo n × k. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika :

A + B = B + A

Misalkan matriks A, B dan C berordo n × k. Penjumlahan matriks A, B dan C memenuhi sifat asosiatif jika :

A + (B + C) = (A + B) + C

Pengurangan Matriks

A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan matriks -B. Ingat, Matriks –B adalah lawan dari matriks B. Ditulis:

A – B = A + (–B)

Matriks dalam kurung merupakan matriks yang entrynya berlawanan dengan setiap entry yang bersesuaian matriks B. Sedangkan untuk pengurangan dua matriks dapat juga kamu lakukan dengan cara mengurangkan entry-entry yang letaknya sama dari kedua matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks ini:

A – B = [aij] – [bij]

Perkalian Skalar

A adalah suatu matriks berordo m × n dengan entry-entry aij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k terhadap matriks A, dinotasikan :

C = k.A

Bila matriks C berordo m × n dengan entry-entrynya (untuk semua i dan j) ditentukan oleh:

cij = k.aij

Perkalian Matriks

A adalah matriks yang berordo m × p dan B adalah matriks yang berordo q × n. Perkalian matriks A dan matriks B adalah suatu matriks C berordo m × n yang dinotasikan A × B = C = [cij] berordo m × n dengan elemen baris ke-i (i = 1,2,3, …, m) dan kolom ke-j (j = 1,2,3,…, n.) adalah :

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j ++ aim bpn

Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo p × q dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika :

A × (B × C) = (A × B) × C

Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi penjumlahan matriks jika :

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

Misalkan matriks A berordo p × q dan n ∈ N, dengan A sejumlah n dinyatakan :

An = A × A × A × ….

Transpose Matriks

Transpose matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar entry baris menjadi entry kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m.

Notasi transpose matriks Am×n adalah Atm×n.

Transpose matriks merubah posisi entry-entry matriks. Perubahan transpose matriks seperti entry baris ke-1 pada matriks A menjadi entry kolom ke-1 pada matriks At, setiap entry baris ke-2 pada matriks menjadi entry kolom ke-2 pada matriks At, demikian seterusnya, hingga semua entry baris pada matriks A menjadi entry kolom pada matriks At.

Baca juga: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Contoh dan Cara Penyelesaian

Determinan Matriks Berordo 2 × 2 dan 3 × 3

Determinan Matriks 2 × 2

Determinan 2x2
Sumber: Dokumentasi Penulis

Determinan Matriks 3 × 3

determinan 3x3
Sumber: Dokumentasi penulis

Determinan Matriks 3 × 3 merupakan hasil penjumlahan dari perkalian tiga entry diagonal menurun ke kanan dikurangi penjumlahan dari perkalian tiga entry diagonal menanjak ke kanan. Supaya lebih mudah memahami determinan matriks 3 × 3, perhatikan garis-garis diagonal berikut ini :

determinan 3x3a
Sumber: Dokumentasi penulis

Sifat-sifat Determinan matriks:

Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m ∈ N. Jika determinan determinan matriks A dinotasikan |A| dan determinan matriks B dinotasikan |B|, maka berlaku :

|AB| = |A|.|B|

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A =  dan det At = |At|, maka berlaku :

|A |= |At|

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det (A) =  dan det A-1 = |A-1|maka | A-1 | = -1 / |A|.

Invers Matriks 3 × 3 dan 2 × 2

Matriks A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N.

  • Matriks A disebut matriks tidak singular, apabila det (A) ≠ 0.
  • Matriks A disebut matriks singular, apabila det (A) = 0.
  • Matriks invers A-1 disebut invers matriks A jika dan hanya jika A A-1 = A-1 A = I, dengan I adalah matriks identitas perkalian matriks.

Salah satu sifat invers matriks adalah A–1 . A = A . A–1 = I . Persamaan tersebut dapat dimodifikasi menjadi rumus invers matriks berikut ini.

Rumus Invers Matriks :

A–1 . A . X            = A–1 B

(semua ruas pada rumus invers matriks dikalikan matriks invers A–1).

(A–1 . A) . X         = A–1 B

I . X                      = A–1 B

X                          = A–1 B           (karena rumus invers matriks I . X = X)

Rumus invers matriks berlaku secara umum, dengan syarat det A ≠ 0.

Sifat-sifat invers matriks :

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Det (A) ≠ 0. Jika matriks invers A-1 adalah invers matriks A, maka berlaku :

(A-1)-1 = A

Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n ∈ N. Det (A) ≠ 0 dan det (B) ≠ 0. Jika matriks invers A-1 dan B-1 adalah invers matriks A dan B maka matriks invers (AB)-1 = B-1 A-1.

Invers Matriks Berordo 2 × 2

Matriks persegi A berordo 2 × 2.

Invers 2x2
Sumber: Dokumentasi penulis

Invers Matriks Berordo 3 × 3

invers 3x3
Sumber: Dokumentasi penulis

Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj (A) = (kij)t .

Kofaktor suatu entry baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan:

kij = (–1)i+j |Mij| = (–1)ij det (Mij).

invers 3x3 adj
Sumber: Dokumentasi penulis

Jika digabungkan invers matriks 3 × 3

rumus invers matrik 3x3
Sumber: Dokumentasi Penulis

Matriks Singular

Matriks singular atau matriks non-invertible adalah matriks yang tidak bisa di hitung apabila determinan dari matriks tersebut adalah 0 (nol). Jika determinan matriks singular adalah nol, maka akan menghasilkan nilai invers matriks singular sama dengan tidak berhingga.

Ciri-ciri matriks singular :

  • Semua elemen pada suatu baris adalah kelipatan dari elemen atau anggota pada baris lain.
  • Semua elemen pada suatu kolom adalah kelipatan dari elemen atau anggota pada kolom lain.
  • Semua elemen pada suatu baris adalah hasil penjumlahan dari beberapa baris lain. Semua elemen pada suatu kolom adalah hasil penjumlahan dari beberapa kolom lain .
  • Semua elemen dalam suatu baris atau kolom sama dengan nol.

Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan elemen diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen lain bernilai nol. Sifat matriks identitas ini adalah seperti bilangan 1. Artinya jika matriks A dikalikan dengan matriks identitas hasilnya tidak akan berubah :

A . I = A   dan      I . A = A

Berikut adalah contoh matriks identitas :

matriks identitas
Sumber: Dokumentasi penulis

Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal matriks berikut ini yang terdiri dari soal matriks dan pembahasan matriks.

Contoh Soal Matriks

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan matriks :

  1. Jika A dan B adalah matriks yang sama, tentukan z, y, f dan g.

contoh soal matriks
Sumber: Dokumentasi penulis

Jadi nilai z, y, f dan g secara berurutan adalah 2, 7, 15, dan 1.

2. Tentukan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar (k = 5), dan perkalian antara matriks berikut ini

contoh soal matriks 2
Sumber: Dokumentasi penulis

contoh pengurangan matriks
Dokumentasi penulis

perkalian matriks
Sumber: Dokumentasi penulis

3. Jika det A sama dengan det B, tentukan nilai dari r!

contoh soal determinan matriks
Sumber: Dokumentasi penulis

Pembahasan :

det A = (r + 2)5 – 2 = 5r + 10 – 2 = 5r + 8

det B = (6 × 2 × 9) + (7 × 4 × 5) + (3 × 1 × 8) – (5 ×2 × 3) – (8 × 4 × 6) – (9 × 1 × 7) = – 13

det A = det B

5r + 8 = -13

5r = -21

r = -21 / 5

Jadi nilai r adalah -21 / 5.

Baca juga: Materi Induksi Matematika

Demikianlah penjelasan mengenai materi matriks semoga teman-teman semua dapat mempelajarinya dengan baik. Kemudian teman-teman juga dapat mengerti dan pahan dengan materi matriks ini.


Daftar Pustaka :

Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Yatini
Yatini
Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here

Artikel Terbaru

Gerak Lurus

Gaya merupakan penyebab perubahan pada benda. Perubahan tersebut dapat berupa perubahan gerak benda, termasuk kelajuannya dan arah kelajuan atau perubahan kecepatan. Namun dalam fisika...

20 Website Jurnal Internasional dan Cara Mencarinya

Membuat suatu tulisan ilmiah, terutama skripsi, tentu memerlukan banyak artikel dari jurnal sebagai tinjauan pustaka. Beberapa dosen pembimbing juga menyarankan untuk mencari jurnal internasional...

Cara Menggunakan Mendeley

Membuat sitasi dan daftar pustaka sering terasa membingungkan dan melelahkan. Apalagi ada banyak sistem yang tersedia untuk mengutip suatu tulisan, misalnya yang menggunakan metode...

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi merupakan salah satu materi yang penting untuk dipelajari. Turunan fungsi ini merupakan syarat untuk belajar materi integral. Selain sebagai materi syarat turunan...

Perang Banjar: Penyebab Serta Akhir Perang

Indonesia adalah negara yang memiliki banyak pulau, dari sabang sampai merauke. Salah satunya yaitu Kalimantan Selatan. Daerah ini terkenal dengan produk pengolahan daerahnya seperti...