Logaritma banyak digunakan dalam kehidupan seperti menghitung laju pertumbuhan penduduk. Kemudian menghitung bunga majemuk pada bank. Bisa juga dalam seismograf dalam menentukan kekuatan gempa dan masih banyak lagi. Untuk itu kita harus mengetahui dan paham dengan logaritma agar bisa menerapkannya dalam kehidupan. Mari kita belajar mengenai logaritma dengan membaca dan memahami artikel ini sampai selesai.
Daftar Isi
Pengertian Logaritma
Logaritma dalah kebalikan dari eksponensial yang menyatakan pangkat dari suatu bilangan. Dapat dituliskan sebagai berikut :
a log b = c ⇔ a c = b
a = basis (a ∈ R, 0 < a < 1 atau a > 1)
b = numerous (b ∈ R, b > 0)
c = hasil logaritma
Contoh
log 1000 = 3 ⇔ 10 3 = 1000
10 = basis
1000 = numerous
3 = hasil logaritma
Contoh soal
1. Suatu negara di Asia dengan jumlah penduduk 200.000.000 jiwa dengan pertumbuhan penduk 0,5 % per tahun pada tahun 2010. Pada tahun berapa negara tersebut memiliki jumlah penduduk 203.015.025 jiwa?
Penyelesaian:
Pertama rubah dahulu persentase pertumbuhan penduduk menjadi bilangan desimal :
0,5 % = 0,5 / 100 = 0,005
Kedua jadikan 1 + laju pertumbuhan penduduk menjadi basis, dan rasio jumlah penduduk sebagai numerous :
(1+0,005) log (203.015.025 / 200.000.000) = 3
Ketiga tambahkan 3 tahun dari 2010 :
2010 + 3 = 2013
Jadi pada tahun 2013 negara di Asia tersebut memiliki jumlah penduduk 203.015.025 jiwa.
Baca juga: Bentuk Persamaan Eksponensial
2. Diketahui tahun 2008 harga bensin premiun adalah Rp 5.000,- per liter. Jika kenaiakan harga akibat inflasi adalah 4,3 % per tahun. Pada tahun berapa harga bensin premium menjadi Rp 5.215?
Penyelesaian:
Pertama rubah dahulu persentase inflasi menjadi bilangan desimal :
4,3 % = 4,3 / 100 = 0,0043
Kedua jadikan 1 + laju persentase inflasi menjadi basis, dan rasio harga bensin premium per liter sebagai numerous :
(1+0,0043) log (5.215 / 5.000) = 1
Ketiga tambahkan 1 tahun dari 2008 :
2008 + 1 = 2009
Jadi pada tahun 2009 harga bensin premium menjadi Rp 5.215,-.
3. Lani meminjam uang ke aplikasi pinjaman online sejumlah Rp 2.000.000,- dengan bunga pinjaman 1% per hari. Dalam kurun waktu tertentu Lani ditelfon oleh debt collector karena tidak membayar hutangnya yang sekarang menjadi Rp 2.060.602,-. Berapa lama Lani meminjam uang tersebut?
Penyelesaian:
Pertama rubah dahulu persentase bunga pinjaman menjadi bilangan desimal :
1 % = 1 / 100 = 0,01
Kedua jadikan bunga menjadi basis, dan rasio jumlah uang yang dipinjam sebagai numerous :
(1+0,01) log (2.060.602 / 2.000.000) = 3
Jadi Lani meminjam uang dari aplikasi pinjaman online selama 3 hari.
Bentuk Logaritma
Jika a, b ∈ R, a > 0, a ≠1, b > 0, dan c rasional, maka bentuk umum logaritma jika dan hanya jika a c = b :
a log b = c
a = basis
b = numerous
c = hasil logaritma
(Sinaga dkk., 2017).
Contoh
11 log 121 = 2
11 = basis
121 = numerous
2 = hasil logaritma
Contoh soal
Hitunglah nilai dari logaritma berikut !
| log 10.000.000 2 log 32 7 log 49 | 3 log 81 5 log 125 6 log 1.296 | 4 log 64 8 log 64 9 log 81 |
Penyelesaian:
| log 10.000.000 = 10 log 10.000.000 = 1og 107 = 7 Jadi log 10.000.000 adalah 7. | 2 log 32 = 2 log 25 = 5 Jadi 2log 32 adalah 5. | 7 log 49 = 7 log 72 = 2 Jadi 7 log 49 adalah 2. |
| 3 log 81 = 3 log 34 = 4 Jadi 3 log 81 adalah 4. | 5 log 125 = 5 log 53 = 3 Jadi 5 log 125 adalah 3. | 6 log 1.296 = 6 log 64 = 4 Jadi 6 log 1.296 adalah 4. |
| 4 log 64 = 4 log 43 = 3 Jadi 4 log 64 adalah 3. | 8 log 64 = 8 log 82 = 2 Jadi 8 log 64 adalah 2. | 9 log 81 = 9 log 92 = 2 Jadi 9 log 81 adalah 2. |
Sifat-Sifat Logaritma
Jika a dan n bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka berlaku sifat-sifat pada logaritma :
| Sifat Logaritma | Contoh |
| a log a = 1 | Log 10 = 10 log 10 = 1 |
| a log 1 = 0 | 5 log 1 = 0 |
| a log an = n | 2 log 16 = 2 log 24 = 4 |
Sifat Operasi logaritma
Jika a, b, dan c bilangan real positif, a > 0, a ≠ 1, b > 0, m dan n bilangan rasional, m ≠ 0 maka berlaku sifat operasi pada logaritma :
| Sifat Operasi Logaritma | Contoh |
| a log (b×c) = a log b + alog c | 2 log (4×8) = 2 log 4 + 2 log 8 = 2 log 22 + 2 log 23 = 2 + 3 = 5 |
| a log (b / c) = a log b – a log c | 3 log (81/3) = 3 log 81 – 3 log 3 = 4 – 1 = 3 |
| a log b = c log b / c log a | 100 log 10.000 = 10 log 10.000/10 log 100 = log 10.000/ log 100 = 4/2 = 2 |
| a log b = 1/blog a | 27 log 3 = 1/3 log 27 = 1/3 |
| a log b×b log c = alog c | 2 log 3×3 log 8 = 2 log 8 = 3 |
Pada subbab logaritma sering keluar soal-soal mengenai intensitas bunyi, berikut adalah rumus intensitas bunyi :
TI = 10 log (I / I0)
TI = taraf indensitas bunyi (dB)
I = intensitas bunyi (watt/m2)
I0 = intensitas ambang (10-12 watt/m2)
Baca juga: Fungsi Rasional
Contoh soal
1. Hitunglah taraf intensitas suatu bunyi yang memiliki intensitas bunyi 10-5 watt/m2 jika intensitas ambang 10-12 watt/m2 !
Penyelesaian:
TI = 10 log (I / I0)
= 10 log (10-5 / 10-12)
= 10 log 107
= 10 × 7
= 70
Jadi taraf intensitas bunyi tersebut adalah 70 dB.
2. Tentukan intensitas bunyi air terjun dengan taraf intensitas bunyi 80 db, jika intensitas ambang 10-12 watt/m2 !
Penyelesaian:
TI = 10 log (I / I0)
80 = 10 log (I / 10-12)
80 / 10 = log (I / 10-12)
8 = log (I / 10-12)
log 108 = log (I / 10-12)
108 = I / 10-12
I = 10-4
Jadi intensitas bunyi air terjun tersebut adalah 10-4 watt/m2.
Baca juga: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Pemahaman Akhir
Logaritma adalah konsep matematika yang digunakan dalam banyak aspek kehidupan, seperti menghitung laju pertumbuhan penduduk, bunga majemuk pada bank, dan menentukan kekuatan gempa melalui seismograf. Untuk dapat menerapkan logaritma dalam kehidupan, penting bagi kita untuk memahami konsep dan sifat-sifat logaritma.
Logaritma merupakan operasi kebalikan dari eksponensial, yang menghitung pangkat dari suatu bilangan. Dalam logaritma, kita memiliki basis, numerous, dan hasil logaritma. Contoh soal diberikan untuk menghitung nilai logaritma dengan memahami konsep tersebut.
Selain itu, terdapat bentuk umum logaritma yang digunakan jika dan hanya jika a^c = b. Bentuk umum logaritma ini juga diilustrasikan melalui contoh soal untuk menghitung nilai logaritma.
Dalam logaritma, terdapat pula sifat-sifat yang memudahkan operasi logaritma, seperti sifat logaritma alog a = 1 dan sifat operasi logaritma seperti penggabungan dan pemisahan basis, serta pembagian logaritma dengan logaritma yang lain.
Selain itu, dalam artikel ini juga dibahas mengenai intensitas bunyi dan rumus intensitas bunyi yang melibatkan logaritma. Contoh soal diberikan untuk menghitung taraf intensitas bunyi dengan memahami rumus intensitas bunyi tersebut.
Dengan memahami konsep dan sifat-sifat logaritma, diharapkan kita dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari dan pemecahan masalah matematika yang melibatkan logaritma.
Demikianlah penjelasan mengenai logaritma, semoga kamu bisa memahami dan mengaplikasikannya. Sukses buat kita semua.
Sumber:
Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
