Transformasi: Rotasi, Pencerminan, Translasi, Dilatasi

Transformasi atau yang sering kita kenal dengan perubahan. Transformasi dalam matematika juga merupakan perubahan yang bisa menjadi lebih besar, lebih kecil, berputar dan lain sebagainya. Dalam pelajaran matematika kelas 9 ini, teman-teman akan belajar transformasi seperti: pencerminan, rotasi, translasi dan dilatasi. Wah, pasti kalian penasaran kan dengan transformasi ini. Mari langsung saja kita pelajari materi trasformasi di sini ya!

Pencerminan (Refleksi)

Transformasi pada bangun atau objek tertentu yang direfleksi tidak berubah bentuknya dan ukurannya. Jarak dari bangun yang direfleksi ke cermin datar akan sama dengan jarak dari hasil bayangan ke cermin tersebut.

Baca juga: Kesebangunan dan Kekongruenan

Pencerminan terhadap titik asal (0,0)

Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap titik asal O (0, 0) maka bayangannya adalah A’ (-x, –y).

Pencerminan terhadap sumbu x (garis y = 0)

Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap sumbu x (garis y = 0) maka bayangannya adalah A’ (x, –y).

Pencerminan terhadap sumbu y (garis x = 0)

Jika titik A(x, y) direfleksi terhadap sumbu y (ketika garis x = 0) maka bayangannya adalah A’(-x, y).

Pencerminan terhadap garis y = x

Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah A’ (y, x).

Pencerminan terhadap garis y = –x

Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis y = –x, maka bayangannya adalah A’ (-y, -x).

Pencerminan terhadap garis y = h

Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis y = h, maka bayangannya adalah A’ (x, 2h – y).

Pencerminan terhadap garis x = h

Jika titik A (x, y) direfleksi terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah A’ (2h – x, y).

Pergeseran (Translasi)

Transformasi pada bangun yang ditranslasikan tidak berubah bentuknya dan ukurannya. Bangun yang ditranslasikan hanya akan berubah posisinya. Contoh x, y, a, dan b merupakan bilangan real. Translasi titik A (x, y) dengan T (a, b) menggeser absis x sejauh a dan menggeser ordinat y sejauh b, sehingga diperoleh titik A’ (x + a, y + b).

Rotasi

Transformasi pada bangun yang diputar tidak berubah bentuknya dan ukurannya. Bangun yang diputar hanya berubahan posisinya. Berikut adalah jenis-jenis rotasi:

Rotasi dengan sudut 270ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat rotasi O (0, 0)

Jika sebuah titik A (x, y) diputar dengan sudut 270ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat putar O (0, 0) maka koordinat bayangan adalah A’ (-y, –x). Ingat koordinat A’ (-y, –x).

Rotasi dengan sudut 180ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat rotasi O (0, 0)

Jika sebuah titik A (x, y) di putar dengan sudut 180ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat putar O (0, 0) maka koordinat bayangan adalah A’ (-x, -y). Ingat koordinat A’ (-x, -y).

Rotasi dengan sudut 90ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat rotasi O (0, 0)

Jika sebuah titik A (x, y) di putar dengan sudut 90ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat putar O (0, 0) maka koordinat bayangan adalah A’ (-y, x). Ingat koordinat A’ (-y, x).

Rotasi dengan sudut – 90ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat rotasi O (0, 0)

Jika sebuah titik A (x, y) di putar dengan sudut -90ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat putar O (0, 0) maka koordinat bayangan adalah A’ (-y, –x). Ingat koordinat A’ (-y, –x).

Rotasi dengan sudut – 180ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat rotasi O (0, 0)

Jika sebuah titik A (x, y) di putar dengan sudut -180ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat putar O (0, 0) maka koordinat bayangan adalah A’ (-x, -y). Ingat koordinat A’ (-x, -y).

Rotasi dengan sudut – 270ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat rotasi O (0, 0)

Jika sebuah titik A (x, y) di putar dengan sudut -270ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat putar O (0, 0) maka koordinat bayangan adalah A’ (-y, x). Ingat koordinat A’ (-y, x).

Baca juga: Fungsi Kuadrat Serta Contoh Soal

Dilatasi

Transformasi pada bangun yang dilatasi (dikalikan) dengan skala k akan mengubah ukuran objek atau tetap ukuran objek dan tidak mengubah bentuk objek. Jika k > 1, maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan objek tersebut. Bangun yang diperbesar dengan skala k akan mengubah ukuran objek dan tidak mengubah bentuk objek. Jika k = 1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran objek dan juga pada letak objek.

Bangun yang diperkecil dengan skala k akan mengubah ukuran objek tetapi tidak mengubah bentuk objek. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan objek tersebut. Jika –1 < k < 0, maka objek akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan objek tersebut. Jika k < – 1, maka objek akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan objek tersebut. Pada dilatasi dengan pengali k berlaku seperti berikut ini:

1. Dilatasi titik A (x, y) dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala k, maka koordinat bayangannya adalah A’ (kx, ky).

2. Dilatasi titik A (x, y) dengan pusat P (p, q) dan faktor skala k, maka koordinat bayangannya adalah A’ ([kx – kp + p], [ky – kq + q]).

Contoh Soal Transformasi

Untuk lebih memahami materi transformasi mari kita lihat Contoh soal transformasi SMP kelas 9 berikut ini:

1. Gambarlah bayangan dari suatu titik A (3, 5) yang direfleksikan titik asal O (0, 0)!

Pembahasan:

Refleksi melalui titik asal O (0,0):

A (x, y) à A’ (-x, –y)

A (3, 5) à A’ (-3, -5)

Teman-teman bisa juga menggunakan titik koordinat sebagai berikut:

Jadi bayangan dari suatu titik A (3, 5) yang direfleksikan titik asal O (0, 0) adalah koordinat A’ (-3, -5).

2. Gambarlah bayangan titik A (3, 4) yang di putar dengan sudut 90ᵒ berlawanan jarum jam dan pusat O (0, 0)!

Pembahasan:

Rotasi dengan pusat O (0, 0) berlawanan jarum jam dengan sudut 90ᵒ : A (x, y) à A’ (-y, x)

Rotasi dengan pusat O (0, 0) berlawanan jarum jam dengan sudut 90ᵒ : A (3, 4) à A’ (-4, 3).

Teman-teman bisa juga menggunakan titik koordinat sebagai berikut:

Jadi bayangan titik A (3, 4) yang di putar berlawanan jarum jam dengan sudut 90ᵒ dan pusat O (0, 0) adalah koordinat A’ (-4, 3).

3. Gambarlah bayangan titik A (6, 3) yang dilatasi dengan pusat P (1, 7) dan faktor skala 2!

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat P (p, q) dan faktor skala k : A (x, y) à A’ ([kx – kp + p], [ky – kq + q])

Dilatasi dengan pusat P (1, 7) dan faktor skala 2 : A (6, 3) à A’ ([(2 × 6) – (2 × 1) + 1], [(2 × 3) – (2 × 7) + 7])

A’ (11, -1)

Teman-teman bisa juga menggunakan titik koordinat sebagai berikut:

Jadi bayangan titik A (6, 3) yang dilatasi dengan pusat P (1, 7) dan faktor skala 2 adalah koordinat A’ (11, -1).

Baca juga: Bangun Ruang Sisi Lengkung

Pemahaman Akhir

Transformasi dalam matematika adalah perubahan bentuk atau posisi dari suatu bangun atau objek. Terdapat empat jenis transformasi yang sering diajarkan dalam matematika kelas 9, yaitu pencerminan (refleksi), pergeseran (translasi), rotasi, dan dilatasi.

Pencerminan (Refleksi): Pencerminan adalah transformasi yang membuat bayangan suatu titik, garis, atau bangun lain terhadap sumbu atau titik tertentu. Pencerminan bisa dilakukan terhadap titik asal, sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, garis y = h, atau garis x = h. Bayangan dari suatu titik yang direfleksikan dapat dihitung dengan menggunakan rumus yang sesuai dengan jenis pencerminan yang dilakukan.

Pergeseran (Translasi): Pergeseran adalah transformasi yang mengubah posisi suatu bangun tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. Pergeseran dapat dilakukan dengan menggeser absis (x) dan ordinat (y) suatu titik sesuai dengan nilai a dan b yang diberikan. Hasilnya, titik akan bergeser sejauh a pada sumbu x dan sejauh b pada sumbu y.

Rotasi: Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu bangun tanpa mengubah bentuk atau ukurannya. Rotasi dapat dilakukan dengan pusat rotasi O (0, 0) atau pusat rotasi P (p, q) dengan sudut rotasi tertentu. Bayangan dari suatu titik yang diputar dapat dihitung menggunakan rumus yang sesuai dengan jenis rotasi yang dilakukan.

Dilatasi: Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Dilatasi dapat dilakukan dengan pusat dilatasi tertentu dan faktor skala k. Jika k > 1, bangun akan diperbesar; jika 0 < k < 1, bangun akan diperkecil; dan jika k < -1, bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi.

Materi transformasi dalam matematika merupakan dasar penting untuk memahami perubahan bentuk dan posisi suatu bangun atau objek. Transformasi ini tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi juga banyak diterapkan dalam berbagai bidang seperti grafika komputer, fisika, dan teknik. Dengan memahami konsep transformasi, kita dapat menganalisis dan memodelkan perubahan yang terjadi dalam berbagai situasi.

Demikianlah penjelasan materi transformasi. Mulai dari reflesi, rotasi dilatasi dan translasi. Semoga dapat membantu dalam belajar.

Daftar Pustaka:

Subchan dkk. 2018. Matematika Kelas IX. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.