Persamaan dan Fungsi Kuadrat Serta Contoh Soal

Di kelas VII tentu teman-teman sudah belajar mengenai aljabar dan persamaan linier. Nah, kali ini adalah materi lanjutan dari materi persamaan liner yaitu persamaan kuadrat. Bagaimana bentuk persamaan kuadrat dan bagaimana serunya belajar persamaan kuadrat ini? Mari kita lihat materinya ya!

Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memuat satu peubah (variabel) dan pangkat tertinggi variabel tersebut adalah dua.

ax² + bx + c = 0

Persamaan kuadrat juga sering disebut dengan persamaan pangkat dua. Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax² + bx + c = 0 dimana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Jika a = 0, persamaan tersebut bukan lagi persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat. Bentuk lain dari persamaan kuadrat adalah:

Jika c = 0 → ax² + bx = 0 disebut persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Jika b = 0 →ax² + c = 0 disebut persamaan kuadrat bentuk asli.

Baca juga: Kesebangunan dan Kekongruenan

Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Perkalian dengan nol akan menghasilkan nol. Sebaliknya, suatu perkalian apabila menghasilkan nol, pasti salah satu bilangan yang dikalikan bernilai nol.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran adalah sebagai berikut ini:

Penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap dengan pemfaktoran

15x² + 5x = 0 →5x (3x + 1) = 0, maka nilai x = 0 atau x = -1/3

Penyelesaian persamaan kuadrat bentuk asli dengan pemfaktoran

x² –  4 = 0 → (x – 2) (x + 2) = 0, maka nilai x = 2 atau x = -2

Penyelesaian persamaan kuadrat yang lengkap dengan pemfaktoran

x² + 5x + 6 = 0 → (x + 3) (x + 2) = 0, maka nilai x = -3 atau x = -2

Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Setiap bentuk persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan menambah atau mengurangi konstanta. Secara umum melengkapkan kuadrat sempurna adalah membentuk persamaan menjadi:

(x – p)² = q² ⇔  x + p = ± q, sehingga diperoleh x₁ = q – p dan x₂ = –q – p

Penyelesaian Persamaan Kuadrat Berbentuk Pecahan

Seringkali, suatu persamaan kuadrat ditulis dalam bentuk pecahan. Untuk memudahkan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, terlebih dahulu menghilangkan penyebut-penyebutnya, yaitu dengan mengalikan setiap suku dengan KPK penyebut.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat berbentuk pecahan adalah sebagai berikut ini:

Rumus Persamaan Kuadrat

Rumus persamaan kuadrat atau dikenal dengan nama lain rumus abc dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumus persamaan kuadrat biasanya digunakan apabila mengalami kesulitan untuk menyelesaikan dengan cara memfaktorkan atau melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jika diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat akan diperoleh rumus persaman kuadrat sebagai berikut:

Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya

Apabila akar-akar suatu persamaan kuadrat tersebut dapat disusun dengan dua cara yaitu menggunakan faktor, serta rumus jumlah dan hasil akhir akar-akar.

Menggunakan faktor

Jika persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x – x₁) (x – x₂) = 0 maka x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya jika x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai:

(x – x₁) (x – x₂) = 0

Menggunakan rumus jumlah dan hasil akar-akar

Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka:

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk y = ax² + bx + c, dengan a ≠ 0, x, y ∈ R. Fungsi kuadrat dapat pula dituliskan sebagai f(x) = ax² + bx + c.

Menggambar Grafik Fungsi y = ax²

Menggambar grafik fungsi kuadrat yang paling sederhana y = ax², yakni ketika b = c = 0. Untuk mendapatkan grafiknya dapat dibuat gambar untuk beberapa nilai x dan mensubtitusikannya pada fungsi y = ax², kemudian buatlah tabel untuk setiap nilai x dan y. Tempatkan titik-titik koordinat yang berada dalam tabel pada bidang koordinat. Sketsa grafik dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut.

Nilai a pada fungsi y = ax² akan mempengaruhi bentuk grafiknya:

1. Jika a > 0 maka bentuk grafik akan terbuka ke atas.
2. Jika a < 0 maka bentuk grafik akan terbuka ke bawah.
3. Jika a > 0 dan nilai a makin besar maka bentuk grafik akan lebih landai.
4. Jika a < 0 dan nilai a makin kecil maka bentuk grafik akan lebih curam.

Menggambar Grafik Fungsi y = ax² + c

Menggambar grafik fungsi y = ax² + c dengan b = 0 dan c ≠ 0. Pertama Buatlah tabel antara setiap nilai x dan y, kemudian tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat. Sketsa dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut.

Sifat grafik fungsi y = ax² + c :

1. Grafik fungsi y = x² memotong sumbu Y di titik koordinat (0, 0).
2. Grafik fungsi y = x² + 1 memotong sumbu Y di titik koordinat (0, 1).
3. Grafik fungsi y = x² – 1 memotong sumbu Y di titik koordinat (0, -1).
4. Grafik fungsi y = x² + 1 merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 1 satuan ke arah sumbu Y positif .
5. Grafik fungsi y = x² – 1 merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 1 satuan ke sumbu Y negatif.
6. Jadi dapat disimpulkan bahwa nilai c pada fungsi y = x² + c akan mempengaruhi geseran y = x², yaitu sepanjang c satuan ke arah sumbu Y dan grafik fungsi y = x² + c memotong Sumbu Y di koordinat (0, c).

Menggambar Grafik Fungsi y = x² + bx

Menggambar grafik fungsi kuadrat y = x² + bx ketika c = 0 dan b ≠ 0. Pertama Buatlah tabel antara setiap nilai x dan y, kemudian tempatkan titik-titik koordinat dalam tabel pada bidang koordinat. Sketsa dengan menghubungkan titik-titik koordinat tersebut.

Pada grafik fungsi terdapat:

1. Titik puncak adalah titik tertinggi pada suatu grafik atau sering disebut titik balik dari kenaikan grafik dan sebelum grafik menurun.
2. Sumbu simetri adalah suatu garis vertikal yang membagi suatu grafik sama besar.
3. Pengaruh b pada grafik fungsi y = x² + bx adalah kemiringan dari garafik.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan fungsi yang berbentuk y = x² + bx + c, dengan a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat ini memang menyerupai parabola. Sehingga dapat dikatakan juga sebagai fungsi parabola.

Nilai a pada fungsi y = x² + bx + c akan mempengaruhi bentuk grafiknya. Jika a positif maka grafiknya akan terbuka ke atas. Sebaliknya jika a negatif maka grafik nya akan terbuka ke bawah. Jika nilai a semakin besar maka grafiknya menjadi lebih kurus.Nilai b pada grafik y = x² + bx + c menunjukkan dimana koordinat titik puncak dan sumbu simetri berada . Jika a > 0 maka grafik y = x² + bx + c memiliki titik puncak minimum. Jika a < 0 maka grafik memiliki titik puncak maksimum. Nilai c pada grafik y = x² + bx + c menunjukan titik perpotongan grafik fungsi kuadrat tersebut dengan sumbu Y, yakni pada koordinat (0, c).

Baca juga: Perpangkatan dan Bentuk Akar

Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

Pergeseran Grafik Fungsi Kuadrat

Perbandingan Sifat grafik fungsi y = ax² + bx + c dan y = ax² + c adalah sebagai berikut:

Sifat grafik fungsi y = ax² + bx + c

1. Grafik fungsi y = (x – 1)² merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 1 satuan ke sumbu X positif.
2. Grafik fungsi y = (x – 2)² merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 2 satuan ke sumbu X positif.
3. Grafik fungsi y = (x + 1)² merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 1 satuan ke arah sumbu X negatif
4. Grafik fungsi y = (x + 2)² merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 2 satuan ke arah sumbu X negatif.

Sifat grafik fungsi y = ax² + c

1. Grafik fungsi y = x² + 1 merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 1 satuan ke arah sumbu Y positif .
2. Grafik fungsi y = x² + 2 merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 2 satuan ke arah sumbu Y positif .
3. Grafik fungsi y = x² – 1 merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 1 satuan ke sumbu Y negatif.
4. Grafik fungsi y = x² – 2 merupakan geseran grafik y = x² sepanjang 2 satuan ke sumbu Y negatif.

Dari perbandingan tersebut dapat disimpulkan bahwa:

1. Grafik fungsi y = (x – s)² merupakan geseran grafik y = x² sepanjang s satuan ke sumbu X positif.
2. Grafik fungsi y = (x + s)² merupakan geseran grafik y = x² sepanjang s satuan ke arah sumbu X negatif
3. Grafik fungsi y = x² + t merupakan geseran grafik y = x² sepanjang t satuan ke arah sumbu Y positif .
4. Grafik fungsi y = x² – t merupakan geseran grafik y = x² sepanjang t satuan ke sumbu Y negatif.
5. Grafik fungsi y = (x – s)² + t merupakan geseran grafik y = x² sepanjang s satuan ke sumbu X positif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y positif.
6. Grafik fungsi y = (x – s)² – t merupakan geseran grafik y = x² sepanjang s satuan ke sumbu X positif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y negatif.
7. Grafik fungsi y = (x + s)² + t merupakan geseran grafik y = x² sepanjang s satuan ke arah sumbu X negatif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y positif.
8. Grafik fungsi y = (x + s)² – t merupakan geseran grafik y = x² sepanjang s satuan ke arah sumbu X negatif dan dilanjutnya dengan pergeseran sejauh t satuan ke arah sumbu Y negatif.

Menentukan sumbu simetri dan titik optimum

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c mempunyai sumbu simetri:

Langkah-langkah mensketsa grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut ini:

Langkah 1. Menentukan bentuk parabola (terbuka ke atas atau ke bawah)!

Langkah 2. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu X; yaitu, koordinat titik potongnya adalah (x₁, 0) yang memenuhi persamaan f(x₁) = 0.

Langkah 3. Menentukan perpotongan grafik terhadap sumbu Y: yaitu, koordinat titik potongnya adalah (0, y₁) dengan y₁ didapatkan berdasarkan persamaan y₁ = f(0).

Langkah 4. Menentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi.

Langkah 5. Mensketsa grafik fungsi kuadrat berdasarkan langkah (1), (2), (3) dan (4).

Menentukan Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan fungsi kuadrat diperlukan informasi diantaranya: beberapa titik koordinat yang dilalui fungsi kuadrat tersebut, titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X dan sumbu Y, titik puncak dan sumbu simetri. Adapun langkah-langkahnya seperti di bawah ini:

1. Memisalkan fungsi kuadrat tersebut dengan f(x) = ax² + bx + c.
2. Jika diketahui beberapa koordinat lain (p, q), maka akan diperoleh f(p) = q.
3. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X pada titik (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi f(x) = a (x – p) (x – q).
4. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu Y pada titik (0, r) maka diperoleh f(0) = r = c.
5. Jika diketahui titik puncak (s, t) dan sumbu simetri adalah garis x = s.
6. Jika diketahui fungsi kuadrat tersebut melalui titik (e, d) maka dengan menggunakan sifat simetri diperoleh titik koordinat yang lain hasil pencerminan (e, d) terhadap garis x = s.

Rumus Fungsi Kuadrat

Rumus sumbu simetri dan nilai optimum

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c mempunyai rumus sumbu simetri

1. Jika diketahui titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X pada titik (p, 0) dan (q, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi

f(x) = a (x – p) (x – q).

2. Jika diketahui titik puncak fungsi kuadrat tersebut pada titik (s, t) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi :

ƒ(x) = a (x – s)² + t.

3. Jika diketahui fungsi kuadrat tersebut menyinggung sumbu x di titik (w, 0) maka fungsi kuadrat tersebut dapat dituliskan menjadi :

ƒ(x) = a (x – w)²

Aplikasi Fungsi Kuadrat

Beberapa aplikasi fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari yaitu lompat trampolin, pelemparan koin, pergerakan benda, penentuan volume benda maksimal, luas benda maksimal, tinggi maksimum, dan luas kebun maksimal.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Untuk memahami persamaan kuadrat teman-teman bisa melihat contoh soal dan pembahasan persamaan kuadrat berikut:

1. Selesaikanlah persamaan kuadrat x² – 2x = 15 dengan cara pemfaktoran

Pembahasan:

x² – 2x = 15

x² – 2x – 15 = 0

(x – 5)(x + 3) = 0

x = 5 atau x = -3

Jadi penyelesaian persamaan kuadrat untuk persamaan kuadrat x² – 2x = 15 adalah x = 5 atau x = -3.

2. Tentukanlah suatu fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + c jika titik potong fungsi kuadrat tersebut di sumbu X pada titik (9, 0) dan (3, 0) !

Pembahasan:

f(x) = x² + bx + c à maka a = 1

f(x) = a (x – p) (x – q)

f(x) = 1 (x – 9) (x – 3)

f(x) = x² – 12x + 27

Jadi fungsi kuadrat jika titik potong fungsi kuadrat di sumbu X pada titik (9, 0) dan (3, 0) adalah f(x) = x² – 12x + 27.

3. Tentukanlah suatu fungsi kuadrat ƒ(x) = 2x² + bx + c dengan titik puncak fungsi kuadrat tersebut pada titik (7, 2) !

Pembahasan:

ƒ(x) = 2x² + bx + c à maka a = 2

ƒ(x) = a (x – s)² + t.

ƒ(x) = 2 (x – 7)² + 2

ƒ(x) = 2 (x² – 14x + 49) + 2

ƒ(x) = 2x² – 28x + 100

Jadi suatu fungsi kuadrat dengan titik puncak fungsi kuadrat tersebut pada titik (7, 2) adalah ƒ(x) = 2x² – 28x + 100.

Baca juga: Bangun Ruang Sisi Lengkung

Pemahaman Akhir

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang memiliki satu variabel dengan pangkat tertinggi variabel tersebut adalah dua. Bentuk umumnya adalah ax^2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Persamaan kuadrat dapat memiliki beberapa bentuk, tergantung pada nilai koefisien b dan c. Jika c = 0, maka persamaan kuadrat disebut tidak lengkap. Jika b = 0, maka persamaan kuadrat disebut bentuk asli.

Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan berbagai metode, seperti pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus abc. Pemfaktoran dilakukan dengan mencari faktor-faktor persamaan kuadrat yang menghasilkan nol. Melengkapkan kuadrat sempurna melibatkan transformasi persamaan menjadi bentuk (x – p)^2 = q^2. Rumus abc digunakan ketika metode lain tidak efektif.

Grafik fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola. Bentuk grafik dipengaruhi oleh nilai koefisien a. Jika a > 0, grafik terbuka ke atas, sedangkan jika a < 0, grafik terbuka ke bawah. Nilai a juga mempengaruhi kemiringan grafik.

Titik puncak parabola merupakan titik tertinggi atau terendah pada grafik fungsi kuadrat, tergantung pada nilai koefisien a. Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Titik puncak dan sumbu simetri dapat ditentukan menggunakan rumus matematis.

Persamaan kuadrat juga dapat diinterpretasikan dalam konteks pergeseran grafik. Nilai s dan t pada persamaan y = (x – s)^2 + t atau y = (x + s)^2 + t mempengaruhi pergeseran parabola secara horizontal dan vertikal.

Belajar persamaan kuadrat menarik karena memberikan pemahaman lebih lanjut tentang konsep aljabar dan memperluas pemahaman tentang bentuk-bentuk persamaan matematika. Melalui metode penyelesaian yang berbeda dan pemahaman tentang grafik fungsi kuadrat, kita dapat mengaplikasikan konsep ini dalam pemecahan masalah matematika dan dalam kehidupan sehari-hari.

Semoga ini dapat membantu teman-teman dalam memahami materinya ya!

Daftar Pustaka

Subchan dkk. 2018. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Wagiyo, A. dkk. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.