Persamaan Lingkaran Serta Contoh Soal

Persamaan lingkaran adalah suatu materi yang memiliki penerapan juga dalam kehidupan kita. Tetapi kita masih jarang sekali mengetahuinya. Nah, untuk memahami lebih lanjut mengenai materi persamaan lingkaran, teman-teman bisa pelajari secara lengkap di artikel ini ya.

Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah suatu bangun yang dibentuk dari kumpulan titik-titik yang berjarak tetap terhadap pusat lingkaran, dan jarak yang tetap antara himpunan titik dengan pusat lingkaran tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Dari gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui diameter

r = d / 2

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui keliling lingkaran

r = keliling lingkaran / 2π

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui luas lingkaran

Baca juga: Materi Transformasi Geometri

Memahami Lingkaran Secara Analitik

Dari lebih 2500 tahun silam, masyarakat berangapan bahwa bentuk lingkaran adalah bentuk yang paling sempurna. Beberapa sifat lingkaran yang istimewa diantaranya adalah sebagai berikut :

• Lingkaran adalah bangun datar yang memiliki keliling paling kecil diantara bangun datar lain dengan luasan yang sama. Sementara pada bangun ruang, padanannya adalah bola.
• Lingkaran adalah bentuk yang diidentikan dengan roda, dan penutup saluran air karena air tidak akan jatuh ke dalam lubangnya.
• Lingkaran memiliki perbandingan antara keliling dengan diameter yang konsisten dan dinotasikan dengan 𝜋 (Archimedes menemukan pendekatan 𝜋 ini pada tahun 287-212 SM).

Menentukan Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O (0, 0)

Jika titik A(x_A, y_A) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik A (x_A, y_A) diperoleh :

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r adalah :

x² + y² = r²

Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)

Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.

r = jarak A ke B

r² = (AB)²

= (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²

= (x – a)² + (y – b)²

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang persamaannya diketahui berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah :

(x – a)² + (y – b)² = r²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²

x² + y² – 2ax  – 2by  + a² + b² = r²

x² + y² – 2ax  – 2by  + a² + b² – r² = 0

Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a² + b² – r² = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran: x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B) dan

Posisi Titik P (x₁, y₁) terhadap Lingkaran x² + y² = r²

1. Titik P (x₁, y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x₁² + y₁² < r².
2. Titik P (x₁, y₁) terletak pada lingkaran, jika berlaku x₁² + y₁² = r² .
3. Titik P (x₁, y₁) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x₁² + y₁² > r² .

Posisi Titik P (x₁, y₁) terhadap Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r²

1. Titik P (x₁, y₁) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x₁ – a)² + (y₁ – b)² < r².
2. Titik P (x₁, y₁) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r².
3. Titik P (x₁, y₁) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x₁ – a)² + (y₁ – b)² > r²

Posisi Garis y = mx + n terhadap Suatu Lingkaran

Jika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan :

x² + (mx + n)² + 2Ax + 2B (mx + n) + C = 0

x² + m²x² + 2mnx + n² +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0

(1 + m2 ) x² + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n² + 2Bn + C) = 0

D = (2mn + 2A + 2Bm)² – 4 (1 + m² ) (n² + 2Bn + C) = 0

Ingat !

Jika persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0,

D = diskriminan = b² – 4ac

Jarak pusat lingkaran P (x₁ , y₁ ) ke garis ax + by + c = 0 adalah

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu :

1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0  dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

Perhatikan gambar berikut.

Menentukan Koefisien yang Belum Diketahui Jika Kedudukan Garis dan Lingkaran Telah Diketahui

Tahapan dalam menentukan koefisien pada suatu persamaan garis singgung lingkaran adalah :

• Subtitusi nilai dari kedudukan garis (x₁, y₁) pada persamaan lingkaran sehingga ditemukan setiap koefien.
• Nilai koefien akan ditemukan dari persamaan lingkaran tersebut.

Jika ada beberapa koefisien yang belum diketahui biasanya akan diberikan beberapa kedudukan garis. Tahanpan penyelesaiannya dalah dengan :

• Subtitusi nilai dari kedudukan garis (x₁, y₁) pada persamaan lingkaran
• Eliminasi beberapa persamaan tersebut, sehingga salah satu koefisien dapat ditemukan.
• Subtitusi satu koefisien tersebut, maka nilai koefien lain akan ditemukan dari persamaan lingkaran tersebut.

Baca juga: Contoh Soal Induksi Matematika

Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya

Tahapan cara menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya :

• Tentukan gradien garis yang saling tegak lurus.
• Dengan mensubtitusi syarat garis tegak lurus m₁ ⋅ m_g = –1, temukan gradien garis singgung lingkaran.
• Identifikasi dari persaaan lingkaran untuk menentukan rumus persamaan garis singgung lingkaran yang tepat.
• Tentukan jari-jari lingkaran r dan titik pusat lingkaran (a, b) dari persamaan lingkaran.
• Subtitusikan nilai dari gradien garis yang bersingungan m₁, jari-jari lingkaran r dan titik pusat lingkaran (a, b) ke dalam rumus garis singgung lingkaran.
• Persamaan garis singung tersebut ditemukan.

Berikut adalah rumus persamaan garis singgung lingkaran menurut persamaan lingkarannya.

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x² + y² = r² :

Untuk persamaan garis singgung y = mx + n

(1 + m²) x² + 2mnx + n² – r² = 0

Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 :

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk (x – a)² + (y – b)² = r² sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu :

Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Absis atau Ordinat Titik Singgungnya

Tahapan cara menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui absis atau ordinat titik singgungnya :

• Identifikasi dari persaaan lingkaran untuk menentukan rumus persamaan garis singgung lingkaran yang tepat.
• Subtitusi nilai absis atau ordinat titik singgung yang telah diketahui ke dalam persamaan lingkaran sehingga ditemukan ordinat atau absis.
• Tentukan A, B, dan C
• Subtitusikan nilai dari kedudukan garis (x₁, y₁), A, B, dan C ke dalam rumus persamaan garis singgung lingkaran.
• Persamaan garis singgung lingkaran ditemukan.

Berikut adalah rumus persamaan garis singgung lingkarang menurut persamaan lingkarannya.

Persamaan Garis Singgung lingkaran di Titik P (x₁, y₁) pada Lingkaran x² + y² = r²

Garis singgung lingkaran l menyinggung lingkaran x² + y² = r² di titik P (x₁, y₁)  karena OP ⊥ garis l.

Ingat !

Gradien garis OP di titik P (x₁, y₁) adalah m_OP = Y₁/X₁

Dua garis tegak lurus jika perkalian gradiennya = –1

Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = r² di (x₁, y₁) ialah :

x₁ x + y₁ y = r² .

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x₁, y₁) pada Lingkaran (x – a)²  + (y – b)² = r²

Perhatikan gambar berikut.

Gradien garis PQ adalah :

yy₁ – by + by₁ + x₁x – ax + ax₁ = x₁² + y₁² ……… (1)

Untuk Q (x₁, y₁) terletak pada lingkaran (x – a)²  + (y – b)² = r², maka :

x₁² + y₁² = r² + 2ax₁ + 2by₁ – a² – b² ……… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah :

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q (x₁, y₁) pada Lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0

Dari persamaan garis singgung melalui titik Q (x₁, y₁) pada lingkaran (x – a)²  + (y – b)² = r² adalah:

x₁x + y₁y – a(x₁ + x) – b(y₁ + y) + a² + b² – r² = 0

Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a² + b² – r² , persamaannya menjadi :

x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0

Maka persamaan garis singgung melalui Q (x₁, y₁) pada lingkaran x² + y² + 2Ax + 2By + C = 0 adalah

x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0

Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)

Jika melalui titik A(x₁, y₁) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B(x₂, y₂) dan C(x₃, y₃), maka persamaan garis BC adalah x₁x + y₁y = r² disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x₁, y₁) disebut titik kutub.

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x₁, y₁) di luar lingkaran dapat ditentukan dengan langkah-langkah :

1) Membuat persamaan garis kutub dari titik A(x₁, y₁) terhadap lingkaran.

2) Melalui titik potong antara garis kutub lingkaran.

3) Membuat persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub dan lingkaran.

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Untuk lebih memahami materi persamaan lingkaran, mari kita lihat contoh soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran berikut:

1. Jika titik (1, 7) terletak pada lingkaran dengan persamaan x² + y² + hx – 6y – 12 = 0, maka nilai h (koefisien x) adalah ….

Pembahasan:

x² + y² + hx – 6y – 12 = 0

(1)² + (7)² + h(1) – 6(7) – 12 = 0

1 + 49 + h – 42 – 12 = 0

h = 4

Jadi nilai h pada x² + y² + hx – 6y – 12 = 0 melalui titik (1, 7) adalah 4.

2. Diketahui lingkaran x² – 6x + y² + 4y – 12 = 0. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis g : 3x – y + 5 = 0, terhadap lingkaran !

Pembahasan:

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 di titik yang berabsis 4.

Pembahasan:

Cari titik y terlebih dahulu, dengan mensubsitusi x = 4

x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

(4)² + y² – 2 (4) – 6y – 15 = 0

y² – 6y – 7 = 0

(y – 7) (y + 1) = 0

y = 7 atau y = -1

Garis singgung lingkaran di titik (4,7)

Titik singgung (x₁, y₁) = (4,7)

Persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

x₁ = 4

y₁ = 7

A = -2

B = -6

C = -15

Rumus garis singgungnya :

x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0

4x + 7y – 2 (4 + x) – 6 (7 + y) – 15 = 0

2x + y – 65 = 0

Garis singgung lingkaran di titik (4,-1)

Titik singgung (x₁, y₁) = (4, -1)

Persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

x₁ = 4

y₁ = -1

A = -2

B = -6

C = -15

Rumus garis singgungnya :

x₁x + y₁y + A(x₁ + x) + B(y₁ + y) + C = 0

4x – y – 2 (4 + x) – 6 (-1 + y) – 15 = 0

2x – 7y  – 17 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 di titik yang berabsis 4 adalah 2x + y – 65 = 0 atau 2x – 7y  – 17 = 0.

Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar

Pemahaman Akhir

Materi persamaan lingkaran merupakan bagian dari matematika yang memiliki penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Lingkaran adalah bangun datar yang dibentuk oleh titik-titik yang berjarak tetap dari pusat lingkaran, dan jarak tersebut disebut sebagai jari-jari lingkaran. Dalam pembahasan mengenai lingkaran, terdapat beberapa rumus untuk menentukan jari-jari lingkaran jika diketahui diameter, keliling, atau luas lingkaran.

Selain itu, lingkaran juga memiliki sifat khusus, seperti memiliki keliling paling kecil di antara bangun datar lain dengan luasan yang sama, diidentikan dengan roda, dan digunakan sebagai penutup saluran air karena air tidak akan jatuh ke dalam lubangnya. Lingkaran juga memiliki hubungan antara keliling dengan diameter yang dikenal sebagai nilai π.

Dalam materi ini, juga dijelaskan mengenai cara menentukan persamaan lingkaran jika diketahui pusat lingkaran dan jari-jarinya. Terdapat tiga kemungkinan posisi titik terhadap lingkaran berdasarkan hubungan jarak titik tersebut dengan jari-jari lingkaran.

Selain itu, juga dibahas mengenai persamaan garis singgung lingkaran yang dapat ditentukan jika diketahui gradiennya atau absis/ordinat titik singgungnya. Untuk menentukan persamaan garis singgung, digunakan persamaan garis kutub atau persamaan garis singgung melalui titik yang telah diketahui.

Materi ini juga mencakup contoh soal dan pembahasan untuk memperkuat pemahaman mengenai persamaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya. Dengan memahami materi ini secara lengkap, diharapkan teman-teman dapat mengaplikasikan pengetahuan tentang lingkaran dalam berbagai situasi kehidupan sehari-hari dan menyelesaikan permasalahan matematika yang melibatkan lingkaran dengan lebih baik.

Demikianlah penjelasan materi dan contoh soal dan pembahasan mengenai persamaan lingkaran. Semoga materi ini dapat membantu anda dalam belajar mandiri untuk memahami materi persamaan lingkaran.

Daftar Pustaka

Kanginan, M., Hidayah, N.H, Akhmad. G. 2016. Matematika untuk siswa SMA/MA kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Yrama Widya.

Mahfudy, Sofyan. 2016. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Mataram : IAIN Mataram.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.