Persamaan Lingkaran Serta Contoh Soal

Persamaan lingkaran adalah suatu materi yang memiliki penerapan juga dalam kehidupan kita. Tetapi kita masih jarang sekali mengetahuinya. Nah, untuk memahami lebih lanjut mengenai materi persamaan lingkaran, teman-teman bisa pelajari secara lengkap di artikel ini ya.

Pengertian Lingkaran

persamaan lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis

Lingkaran adalah suatu bangun yang dibentuk dari kumpulan titik-titik yang berjarak tetap terhadap pusat lingkaran, dan jarak yang tetap antara himpunan titik dengan pusat lingkaran tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

lingkaran 1
Sumber: Dokumentasi penulis

Dari gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui diameter

r = d / 2

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui keliling lingkaran

r = keliling lingkaran / 2π

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui luas lingkaran

jari-jari lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis

Baca juga: Materi Transformasi Geometri

Memahami Lingkaran Secara Analitik

Dari lebih 2500 tahun silam, masyarakat berangapan bahwa bentuk lingkaran adalah bentuk yang paling sempurna. Beberapa sifat lingkaran yang istimewa diantaranya adalah sebagai berikut :

  • Lingkaran adalah bangun datar yang memiliki keliling paling kecil diantara bangun datar lain dengan luasan yang sama. Sementara pada bangun ruang, padanannya adalah bola.
  • Lingkaran adalah bentuk yang diidentikan dengan roda, dan penutup saluran air karena air tidak akan jatuh ke dalam lubangnya.
  • Lingkaran memiliki perbandingan antara keliling dengan diameter yang konsisten dan dinotasikan dengan 𝜋 (Archimedes menemukan pendekatan 𝜋 ini pada tahun 287-212 SM).

Menentukan Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O (0, 0)

Jika titik A(xA, yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik A (xA, yA) diperoleh :

Persamaan lingkaran 0.0
Sumber: Dokumentasi penulis

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r adalah :

x2 + y2 = r2

Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)

Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.

r = jarak A ke B

r2 = (AB)2

= (xBxA)2 + (yByA)2

= (xa)2 + (yb)2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah:

(xa)2 + (yb)2 = r2

Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang persamaannya diketahui berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah :

(x a)2 + (yb)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax  – 2by  + a2 + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax  – 2by  + a2 + b2 – r2 = 0

Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B) dan

jari-jari lingkaran 1
Sumber: Dokumentasi penulis

Posisi Titik P (x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2

  1. Titik P (x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x12 + y12 < r2.
  2. Titik P (x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x12 + y12 = r2 .
  3. Titik P (x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x12 + y12 > r2 .

Posisi Titik P (x1, y1) terhadap Lingkaran (xa)2 + (yb)2 = r2

  1. Titik P (x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku (x1a)2 + (y1b)2 < r2.
  2. Titik P (x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku (x1a)2 + (y1b)2 = r2.
  3. Titik P (x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku (x1a)2 + (y1b)2 > r2

Posisi Garis y = mx + n terhadap Suatu Lingkaran

Jika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan :

x2 + (mx + n)2 + 2Ax + 2B (mx + n) + C = 0

x2 + m2x2 + 2mnx + n2 +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0

(1 + m2 ) x2 + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n2 + 2Bn + C) = 0

D = (2mn + 2A + 2Bm)2 – 4 (1 + m2 ) (n2 + 2Bn + C) = 0

Ingat !

Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,

D = diskriminan = b2 – 4ac

Jarak pusat lingkaran P (x1 , y1 ) ke garis ax + by + c = 0 adalah

jarak pusat lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis

Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu :

1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).

2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0  dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).

3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r).

Perhatikan gambar berikut.

posisi lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis

Menentukan Koefisien yang Belum Diketahui Jika Kedudukan Garis dan Lingkaran Telah Diketahui

Tahapan dalam menentukan koefisien pada suatu persamaan garis singgung lingkaran adalah :

  • Subtitusi nilai dari kedudukan garis (x1, y1) pada persamaan lingkaran sehingga ditemukan setiap koefien.
  • Nilai koefien akan ditemukan dari persamaan lingkaran tersebut.

Jika ada beberapa koefisien yang belum diketahui biasanya akan diberikan beberapa kedudukan garis. Tahanpan penyelesaiannya dalah dengan :

  • Subtitusi nilai dari kedudukan garis (x1, y1) pada persamaan lingkaran
  • Eliminasi beberapa persamaan tersebut, sehingga salah satu koefisien dapat ditemukan.
  • Subtitusi satu koefisien tersebut, maka nilai koefien lain akan ditemukan dari persamaan lingkaran tersebut.

Baca juga: Contoh Soal Induksi Matematika

Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya

Tahapan cara menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya :

  • Tentukan gradien garis yang saling tegak lurus.
  • Dengan mensubtitusi syarat garis tegak lurus m1 mg = –1, temukan gradien garis singgung lingkaran.
  • Identifikasi dari persaaan lingkaran untuk menentukan rumus persamaan garis singgung lingkaran yang tepat.
  • Tentukan jari-jari lingkaran r dan titik pusat lingkaran (a, b) dari persamaan lingkaran.
  • Subtitusikan nilai dari gradien garis yang bersingungan m1, jari-jari lingkaran r dan titik pusat lingkaran (a, b) ke dalam rumus garis singgung lingkaran.
  • Persamaan garis singung tersebut ditemukan.

Berikut adalah rumus persamaan garis singgung lingkaran menurut persamaan lingkarannya.

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2 :

Untuk persamaan garis singgung y = mx + n

(1 + m2) x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0

Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga

persamaan lingkaran 2
Sumber: Dokumentasi penulis

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 :

Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk (xa)2 + (yb)2 = r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu :

persamaan lingkaran 3
Sumber: Dokumentasi penulis

Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Absis atau Ordinat Titik Singgungnya

Tahapan cara menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui absis atau ordinat titik singgungnya :

  • Identifikasi dari persaaan lingkaran untuk menentukan rumus persamaan garis singgung lingkaran yang tepat.
  • Subtitusi nilai absis atau ordinat titik singgung yang telah diketahui ke dalam persamaan lingkaran sehingga ditemukan ordinat atau absis.
  • Tentukan A, B, dan C
  • Subtitusikan nilai dari kedudukan garis (x1, y1), A, B, dan C ke dalam rumus persamaan garis singgung lingkaran.
  • Persamaan garis singgung lingkaran ditemukan.

Berikut adalah rumus persamaan garis singgung lingkarang menurut persamaan lingkarannya.

Persamaan Garis Singgung lingkaran di Titik P (x1, y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2

persamaan lingkaran 4
Sumber: Dokumentasi penulis

Garis singgung lingkaran l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P (x1, y1)  karena OP ⊥ garis l.

garis singgung lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis

Ingat !

Gradien garis OP di titik P (x1, y1) adalah mOP = Y1/X1

Dua garis tegak lurus jika perkalian gradiennya = –1

Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.

persaman garis singgung lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah :

x1 x + y1 y = r2 .

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran (xa)2  + (yb)2 = r2

Perhatikan gambar berikut.

persamaan lingkaran 5
Sumber: Dokumentasi penulis

Gradien garis PQ adalah :

persamaan lingkaran 6
Sumber: Dokumentasi penulis

yy1by + by1 + x1xax + ax1 = x12 + y12 ……… (1)

Untuk Q (x1, y1) terletak pada lingkaran (xa)2  + (yb)2 = r2, maka :

x12 + y12 = r2 + 2ax1 + 2by1a2b2 ……… (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh :

(x1a) (xa) + (y1b) (yb) = r2

Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah :

(x1a) (xa) + (y1b) (yb) = r2

Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q (x1, y1) pada Lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0

Dari persamaan garis singgung melalui titik Q (x1, y1) pada lingkaran (xa)2  + (yb)2 = r2 adalah:

x1x + y1ya(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0

Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a2 + b2 – r2 , persamaannya menjadi :

x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

Maka persamaan garis singgung melalui Q (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah

x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)

Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1) disebut titik kutub.

persamaan garis singgung 7
Sumber: Dokumentasi penulis

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapat ditentukan dengan langkah-langkah :

1) Membuat persamaan garis kutub dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.

2) Melalui titik potong antara garis kutub lingkaran.

3) Membuat persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub dan lingkaran.

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Untuk lebih memahami materi persamaan lingkaran, mari kita lihat contoh soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran berikut:

1. Jika titik (1, 7) terletak pada lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + hx – 6y – 12 = 0, maka nilai h (koefisien x) adalah ….

Pembahasan:

x2 + y2 + hx – 6y – 12 = 0

(1)2 + (7)2 + h(1) – 6(7) – 12 = 0

1 + 49 + h – 42 – 12 = 0

h = 4

Jadi nilai h pada x2 + y2 + hx – 6y – 12 = 0 melalui titik (1, 7) adalah 4.

2. Diketahui lingkaran x2 – 6x + y2 + 4y – 12 = 0. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis g : 3xy + 5 = 0, terhadap lingkaran !

Pembahasan:

contoh soal dan pembahasan persamaan lingkaran
Sumber: Dokumentasi penulis
contoh soal dan pemabahasan persamaan lingkaran 1
Sumber: Dokumentasi penulis

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 di titik yang berabsis 4.

Pembahasan:

Cari titik y terlebih dahulu, dengan mensubsitusi x = 4

x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

(4)² + y² – 2 (4) – 6y – 15 = 0

y² – 6y – 7 = 0

(y – 7) (y + 1) = 0

y = 7 atau y = -1

Garis singgung lingkaran di titik (4,7)

Titik singgung (x1, y1) = (4,7)

Persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

x1 = 4

y1 = 7

A = -2

B = -6

C = -15

Rumus garis singgungnya :

x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

4x + 7y – 2 (4 + x) – 6 (7 + y) – 15 = 0

2x + y – 65 = 0

Garis singgung lingkaran di titik (4,-1)

Titik singgung (x1, y1) = (4, -1)

Persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0

x1 = 4

y1 = -1

A = -2

B = -6

C = -15

Rumus garis singgungnya :

x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0

4xy – 2 (4 + x) – 6 (-1 + y) – 15 = 0

2x – 7y  – 17 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 di titik yang berabsis 4 adalah 2x + y – 65 = 0 atau 2x – 7y  – 17 = 0.

Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar

Demikianlah penjelasan materi dan contoh soal dan pembahasan mengenai persamaan lingkaran. Semoga materi ini dapat membantu anda dalam belajar mandiri untuk memahami materi persamaan lingkaran.


Daftar Pustaka

Kanginan, M., Hidayah, N.H, Akhmad. G. 2016. Matematika untuk siswa SMA/MA kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Yrama Widya.

Mahfudy, Sofyan. 2016. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Mataram : IAIN Mataram.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Artikel Terbaru

Yatini

Yatini

Hallo... saya Yatini, saya alumni Pendidikan Matematika UIN Raden Fatah Palembang. Teman-teman bisa belajar matematika melalui tulisan saya di sini atau bila kurang jelas atau paham bisa hubungi media sosial saya.

Tulis Komentar Anda

Your email address will not be published. Required fields are marked *