Induksi Matematika, Penerapan, Contoh Soal dan Pembahasan

Induksi mateikan merupakan salah materi kelas XI wajib. Ini berarti materi induksi matematika ini menjadi materi yang wajib dipelajari di semua sekolah. Karena wajib berarti materi induksi matematika ini memiliki banyak sekali kegunaannya atau penerapannya dalam kehidupan kita. Untuk itu mari kita belajar lebih lanjut mengenai induksi matematika.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika adalah suatu teknik pembuktian yang baku dalam matematika sehingga hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis (Manullang dkk., 2017). Untuk lebih jelas kita lihat contoh soal dan pembahasan induksi matematika berikut ini.

Baca juga: Program Linier

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola rata-rata bilangan mulai 1 hingga 10. Kemudian, uji kebenaran formula yang ditemukan sedemikian sehingga berlaku untuk rata-rata bilangan mulai dari 1 hingga n, dengan n bilangan asli.

Pembahasan:

Pertama hitung rata-rata pola bilangan mulai 1 hingga 10 :

Rata-rata = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)/10 = 5,5

Ternyata (1 + 10) /2 = (2 + 9) /2 = (3 + 8) /2 = (4 + 7) /2 = (5 + 6) /2 = 5,5

Rata-rata = (1 + … + n) /jumlah bilangan , atau dapat ditulis

Rata-rata = (1 + n) /2

Kedua menguji formula :

Misalkan n = 12

Rata-rata = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) /10 = 5,5

Ternyata (1 + 12) /2 = (2 + 11) /2 = (3 + 10) /2 = (4 + 9) /2 = (5 + 8) /2

= (6 + 7) /2 = 6,5

Jadi formula yang memenuhi pola rata-rata bilangan mulai 1 hingga n, dengan n bilangan asli adalah (1 + n) /2

Memahami Induksi Matematika

Dalam memahami induksi matematika ini kita membutuhkan dasar berpikir matematika. Salah satu dasar berpikir dalam matematika adalah penalaran deduktif. Berbeda dengan penalaran deduktif, penalaran induktif bergantung pada pengerjaan dengan kajian yang berbeda dan pembentukan atau perancangan suatu formula melalui indikasi-indikasi untuk setiap pengamatan.

Penalaran induksi merupakan penarikan kesimpulan dari berbagai kajian-kajian atau fakta yang valid. Sementara, induksi matematika digunakan untuk membuktikan suatu konsep atau prinsip atau sifat berlaku umum atas konsep atau prinsip atau sifat yang berlaku khusus. Untuk lebih memahaminya, berikut ini adalah soal dan pembahasan induksi matematika (Manullang dkk., 2017). Agar lebih jelas kita lihat contoh Soal dan pembahasan induksi matematika.

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola 1³ + 2³ + . . . + 5³ . Kemudian, uji formula tersebut untuk menghitung 1³ + 2³ + . . . + 10³.

Pembahasan:

Pertama merancang formula yang memenuhi pola :

1³ = (1 . 2 . 2) /4 = 1

1³ + 2³ =(2 . 3 . 6) /4 = 9

1³ + 2³ + 3³ = (3 . 4 . 12) /4 = 36

1³ + 2³ + . . . + 4³ = (4 . 5 . 20) /4 = 100

1³ + 2³ + . . . + 5³ = (5 . 6 . 30) /4 = 225

1³ + 2³ + . . . + n³ = (n . [n+1] . n[n+1]) /4

Kedua menguji coba formula :

1³ + 2³ + . . . + 10³ = (10 . 11 . 110) /4 = 3.025

Jadi formula yang memenuhi pola penjumlahan dari pangkat tiga bilangan mulai 1 hingga n, dengan n bilangan asli adalah (n . [n+1] . n[n+1]) /4.

Prinsip Induksi Matematika

Prinsip Induksi Matematika merupakan bagian dari materi induksi matematika yang harus Anda pahami. Karena dalam pembuktian induksi matematika kita harus memiliki alat atau cara berpikir dalam membuktikan.

Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat yang dapat digunakan membuktikan suatu jenis pernyataan matematis. Dengan mengasumsikan P(n) sebagai pernyataan bilangan asli yang benar. Pernyataan bilangan asli P(n) dikatakan terbukti benar menurut prinsip induksi matematika jika memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Untuk langkah awal prinsip induksi matematika, pengujian P(n) harus mempertimbangkan nilai n yang besar. Hal ini diperlukan untuk menjamin kebenaran P(n). Jika salah satu dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi oleh suatu pernyataan P(n), maka P(n) salah, untuk setiap n bilangan asli. Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

1. Langkah Awal (Basic Step): P(1) benar.
2. Langkah Induksi (Induction Step): Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Untuk lebih jelas kita lihat contoh soal dan pembahasan mengenai prinsip induksi matematika berikut ini.

Misalnya suatu mesin ATM menyediakan layanan tarik tunai untuk pecahan Rp100.000,00 dan Rp50.000,00. Berapakah jumlah kelipatan penarikan dengan jumlah maksimal yang dapat diambil oleh pelanggan melalui ATM tersebut dengan nominal Rp 100.000,00?

Pembahasan:

Dengan menggunakan induksi matematika, tunjukkan bahwa Prinsip dipenuhi untuk penarikan Rp n yang merupakan kelipatan Rp 100.000,00 dengan n adalah bilangan asli.

1. Langkah awal

Untuk penarikan tunai sejumlah Rp 100.000,00, ATM bekerja dan mengeluarkan 2 lembar uang Rp 50.000,00. Jadi, untuk n = 2, maka benar ATM dapat mengeluarkan sejumlah uang kelipatan Rp 100.000,00.

2. Langkah Induksi

Untuk setiap jumlah uang kelipatan Rp 100.000,00, ATM dapat mengeluarkan sejumlah uang yang diinginkan. Artinya, untuk mengeluarkan Rp n, dengan n adalah kelipatan Rp 100.000,00 dan n bilangan asli dapat digunakan e lembar uang Rp 50.000,00.

Dari pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa P(k) benar. P(k + 1) bernilai benar, yaitu untuk mengeluarkan uang sejumlah (k + 1) kelipatan uang Rp 100.000,00 dapat menggunakan uang pecahan Rp50.000,00 atau Rp100.000,00.

Metode Pembuktian

Pada materi Induksi matematika ini kita akan belajar berbagai macam metode pembuktian dalam matemtika. Metode pembuktian dalam matematika terdiri dari metode langsung, metode tidak langsung, kontradiksi dan induksi matematis.

Metode Pembuktian Langsung

Pembuktian Langsung dilakukan dengan menguraikan premis dengan dilandasi oleh definisi atau fakta yang ada untuk meperoleh suatu kesimpulan. Pembuktian langsung merupakan metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Syarat untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Berikut contoh soal dan pembahasan metode pembuktian langsung.

Buktikalah pernyataan berikut ini :

“jika n bilangan ganjil, maka n³ bilangan ganjil”.

Bukti :

Jika n adalah bilangan ganjil, maka dapat dituliskan

n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat.

n³ = (2k + 1)³ = 8k³ + 12k² + 6k + 1 = 2 (4k³ + 6k² + 3k) + 1 .

Jadi bentuk 2 (4k³ + 6k² + 3k) + 1 adalah bilangan ganjil Jadi n³ adalah bilangan ganjil.

Metode Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian tidak langsung yang dibahas ada dua cara yaitu kontraposisi dan kontradiksi :

• Metode Pembuktian Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut secara simbolik :

p → q ≡ ~q → ~p

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

Berikut adalah contoh soal pembuktian kontraposisi.

Buktikanlah pernyataan berikut ini :

p = n³ bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Bukti :

Jika n bukan bilangan ganjil, maka n adalah bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, dengan k adalah bilangan asli.

Jika n³ = (2k)³ = 8k³ = 2 (4k³), maka n³ adalah bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR, sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR. Implikasi p → q benar, ini berarti n³ bilangan ganjil maka n adalah bilangan ganjil.

• Metode Pembuktian Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta atau teorema yang ada. Jika pengandaian konklusi yang salah, sehingga konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada. Berikut adalah contoh soal dan pembahasan pembuktian kontradiksi.

Buktikanlah pernyataan berikut ini :

“Untuk semua bilangan bulat n, jika n³ ganjil, maka n ganjil”.

Bukti :

q bernilai salah, atau ~q bernilai benar.

Jika n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Misalnya n = 2k dengan k bilangan bulat, maka n³ = (2k)³ atau n³ = 8k³. Ini menunjukkan bahwa n³ = bilangan bulat genap (~p).

Suatu kontradiksi diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar. Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Metode Pembuktian Induksi Matematis

Induksi matematika merupakan pembuktian yang berlaku untuk bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan yang menyangkut bilangan asli n. Apabila P(1) benar, dan apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar, berakibat P(n) benar untuk semua n. Berikut soal dan pembahasan pembuktian induksi matematis.

Buktikanlah pernyataan berikut :

“1 + 3 + 5 +  … + (2n – 1) = n², untuk semua bilangan asli n”.

Bukti :

Misalnya P(n) adalah 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n^2, P(1) benar, sebab 1 = 1.

Bila P(k) benar, apabila 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) = k².

Untuk 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2 [k + 1] – 1) =1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k + 1) = [k +1]² = [k +1] [k + 1] = k² + 2k + 1, sehingga P(k + 1) benar.

Bentuk Penerapan Induksi Matematika

Dalam belajar materi induksi matematika kita harus mengetahui juga penerapan dari induksi matematika. Beberapa penerapan induksi matematika yaitu pada penerapan induksi matematika barisan bilangan, penerapan induksi matematika pada keterbagian, dan penerapan induksi matematika pada ketidaksamaan (ketaksamaan). Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal dan pembahasan penerapan induksi matematika

Untuk n bilangan asli, x ≠ 1, buktikan dengan induksi matematika bahwa xⁿ – 1 habis dibagi (x – 1).

Pembahasan:

Misalkan P(n) = xn – yn .

Untuk membuktikan P(n) = xⁿ – 1 habis dibagi (x  –  1), artinya P(n) dapat dituliskan sebagai kelipatan x – 1.

Oleh karena itu, akan ditunjukkan P(n) = xⁿ – 1 memenuhi kedua prinsip induksi matematika.

Langkah Awal :

Untuk n = 1, sangat jelas bahwa x – 1 = (x – 1) × 1.

Demikian halnya untuk n = 1 diperoleh bahwa x² – 1 = (x – 1)(x + 1). Artinya jelas bahwa P(2) = x² – 1 habis dibagi (x – 1).

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka x³ – 1 = (x – 1)(x² + x + 1 ).
• Untuk n = 4, maka x⁴ – 1= (x – 1)(x³ + x² + x + 1).
• Untuk n = 5, maka x⁵ – 1 = (x – 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1).

Jadi untuk n = k, maka P(k) = x^k – 1 = (x – 1)(x^{k – 1} + 1).

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = x^k – 1 habis dibagi x – 1. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = x^{k – 1} – 1 juga habis dibagi (x – 1).

Contoh Soal Induksi Matematika

Contoh soal induksi matematika terdiri dari soal induksi matematika dan pembahasan induksi matematika. Berikut 3 Contoh Soal Induksi Matematika

1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. Jika n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian sehingga n < p < n + 3.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung :

Misalkan n = 19, maka n + 3 = 22

Ternyata tidak berlaku 19 < p < 22 karena tidak ada bilangan prima antara 19 dan 22.

2. Salah satu faktor dari n³ – 1 adalah 1, n bilangan asli.

Pembahasan Induksi Matematika

Pembuktian secara langsung:

n³ – 1 = (n – 1)( n² + n + 1), di mana n = 1.

Jadi terbukti bahwa salah satu faktor dari n³ – 1 adalah 1.

3. Diberikan a > 2, buktikan aⁿ > 0, n bilangan bulat positif.

Pembahasan Induksi Matematika

Langkah Awal :

Untuk a > 2, sangat jelas bahwa aⁿ > 0

Demikian halnya untuk a = 3 diperoleh bahwa 3ⁿ > 0. Artinya jelas bahwa P(2) = 3² > 0

Langkah Induksi :

Pada bagian langkah induksi, kita peroleh bahwa P(2) benar. Karena P(2) benar, maka P(3) juga benar. Namun, perlu kita selidiki pola hasil bagi yang diperoleh untuk n pangkatt 3.

• Untuk n = 3, maka 3³ = 27 > 0.
• Untuk n = 4, maka 3⁴ = 81 > 0
• Untuk n = 5, maka 3⁵ = 273 > 0

Jadi untuk n = k, maka P(k) = 3^k > 0.

Oleh karena itu, disimpulkan bahwa P(k) = a^k – 1 > 0. Selain itu, juga dapat kita simpulkan bahwa P(k – 1) = a^{k – 1} > 0.

Baca juga: Persamaan Nilai Mutlak Linier

Pemahaman Akhir

Induksi matematika merupakan salah satu materi wajib dalam kelas XI. Hal ini berarti setiap sekolah harus mengajarkan materi induksi matematika kepada siswanya. Materi ini memiliki banyak kegunaan dan penerapan dalam kehidupan kita.

Induksi matematika adalah suatu teknik pembuktian baku dalam matematika, di mana dengan langkah-langkah terbatas yang sederhana, kita dapat membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan matematis. Teknik ini sangat berguna dalam membuktikan kebenaran berbagai pernyataan matematis, khususnya yang berkaitan dengan pola dan sifat-sifat berlaku umum.

Dalam memahami induksi matematika, kita perlu menggunakan dasar berpikir matematika dan penalaran induktif. Induksi matematika digunakan untuk membuktikan konsep atau sifat yang berlaku umum atas konsep atau sifat yang berlaku khusus.

Metode pembuktian dalam matematika juga mencakup metode langsung, metode tidak langsung (kontraposisi dan kontradiksi), serta metode induksi matematis. Metode induksi matematis terutama berlaku untuk membuktikan pernyataan matematis yang berlaku untuk semua bilangan asli.

Prinsip induksi matematika menjadi dasar penting dalam metode ini. Prinsip ini menyatakan bahwa jika suatu pernyataan P(n) benar untuk n = 1 (langkah awal) dan jika P(k) benar berarti P(k+1) juga benar (langkah induksi), maka P(n) benar untuk semua n.

Induksi matematika memiliki penerapan yang luas, misalnya dalam membuktikan barisan bilangan, keterbagian, dan ketidaksamaan. Dalam penerapannya, langkah awal harus dibuktikan benar, dan langkah induksi digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikutnya berdasarkan kebenaran pernyataan sebelumnya.

Dalam rangka menguasai induksi matematika, sejumlah contoh soal dan pembahasannya telah disediakan. Dengan memahami dan berlatih melalui contoh-contoh tersebut, diharapkan siswa dapat menguasai teknik-teknik pembuktian induksi matematika dengan baik.

Demikianlah materi mengenai induksi matematika, semoga dapat membantu teman-teman dalam mempelajari dan memahami Induksi matematika. Kemudian dapat menerapkan Induksi matematika dalam kehidupan kita.

Daftar Pustaka

Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.