Pada bab ini akan membahas mengenai barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri. Barisan adalah angka yang tersusun dengan pola tertentu seperti semakin kecil atau semakin besar. Deret adalah hasil penjumlahan angka yang berpola dari suku pertama sampai suku ke-n. Barisan dan deret terdiri dari barisan dan deret aritmatika, serta barisan dan deret geometri.
Barisan dan deret aritmatika adalah baris dan deret yang memiliki pola angka dengan beda setiap dua suku yang berurutan sama. Barisan dan deret geometri adalah baris dan deret yang memiliki pola angka dengan rasio setiap dua suku yang berurutan sama. Untuk lebih memahami barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri, mari pelajari materinya di sini.
Daftar Isi
Menemukan Pola Barisan
Bilangan yang mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya. Bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah atau dikurang atau dikali atau dibagi. Bilangan-bilangan yang disusun berurut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.
Konsep tentang fungsi akan digunakan dalam penerapan menemukan pola dari barisan, karena barisan merupakan suatu fungsi dengan domain bilangan bulat positif dan range bilangan real. Misalnya bola bekel yang memantul pertama ke ketinggian 10 cm, kemudian memantul lagi ke ketinggian 5 cm. Bola bekel tersebut memantul lagi ke ketinggian 2,5 cm, dan memantul terus dengan pola yang sama sampai berhenti.
Baca juga: Induksi Matematika
Barisan Aritmatika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dari dua suku yang berurutan adalah sama. Beda, dinotasikan “b” memenuhi pola berikut.
b = u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 = … = un – un–1
n adalah bilangan asli sebagai nomor suku, un adalah suku ke-n.
Rumus barisan aritmatika
Jika u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , …, un merupakan suku-suku barisan aritmetika. Suku ke-n barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.
un = a + (n – 1) b
a = u1 adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda barisan aritmetika.
(Manullang dkk., 2017)
Untuk lebih memahami rumus barisan aritmatika, perhatikalah contoh soal dan pembahasan barisan aritmatika berikut ini.
Contoh Soal
Tinggi anak tangga kedua dan kelima berturut-turut adalah 45 cm dan 108 cm. Tentukanlah tinggi anak tangga pertama dan beda dari setiap anak tangga yang berurutan.
Pembahasan :
Rumus barisan aritmatika
un = a + (n – 1) b
| 45 = a + (2 – 1) b 45 = a + b a = 45 – b
| 108 = a + (5 – 1) b 108 = a + 4b a = 108 – 4b
| a = a 45 – b = 108 – 4b 3b = 63 b = 21 | a = 45 – b a = 45 – 21 = 24
|
Dari rumus barisan aritmatika ditemukan tinggi anak tangga pertama dan beda dari setiap anak tangga yang berurutan adalah 24 cm dan 21 cm.
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio ini, dinotasikan dengan r yang merupakan nilai perbandingan dari dua suku berdekatan. Nilai r dinyatakan :
Rumus barisan geometri
Jika u1 , u2 , u3 , …, un merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan u1 = a adalah suku pertama barisan geometri dan r adalah rasio barisan geometri, maka suku ke-n dinyatakan
un = a . rn–1 , n adalah bilangan asli
(Manullang dkk., 2017)
Untuk lebih memahami rumus barisan aritmatika, perhatikalah contoh soal dan pembahasan barisan geometri berikut ini.
Contoh Soal
Seorang peneliti bakteri mengamati perkembangan koloni bakteri yang terbentuk setiap menit. Apabila jumlah koloni bakteri mula-mula 100 dan setiap bakteri membelah menjadi dua setiap menit. Tentukanlah jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam waktu 11 menit.
Pembahasan :
Rumus barisan geometri
un = a . rn–1
u11 = 100 . 211–1
u11 = 100 . 210
u60 = 102.400
Dari rumus barisan geometri ditemukan jumlah koloni bakteri yang terbentuk dalam waktu 11 menit adalah 102.400 bakteri.
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah susunan bilangan pada barisan aritmatika u1+ u2 +… + un sampai suku-n. Secara konsep sebenarnya untuk deret aritmatika ini sederhana karena hanya menjumlahkan barisan aritmatika dari suku pertama sampai suku ke-n.
Rumus deret aritmatika
Jika u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , …, un merupakan suku-suku barisan aritmetika. Penjumlahan dari suku pertama sampai suku ke-n deret tersebut dinyatakan sebagai berikut,
a = u1 adalah suku pertama deret aritmetika, b adalah beda deret aritmetika.
(Manullang dkk., 2017)
Untuk lebih memahami rumus deret aritmatika, perhatikalah contoh soal dan pembahasan deret aritmatika berikut ini.
Contoh Soal
Balok disusun membentuk piramida segitiga, pada baris pertama paling atas tedapat satu balok. Jika balok disusun dua baris, jumlah balok seluruhnya adalah tiga balok. Sementara jika balok disusun tiga baris, jumlah balok seluruhnya adalah enam balok. Tentukanlah jumlah balok seluruhnya jika disusun sepuluh baris.
Pembahasan:
Rumus deret aritmatika
= (2a + (n – 1) b )
| a = 1 | = (2 × 1 + (2 – 1) b ) = 2 + b b = 1 | = (2 × 1+ (10 – 1) 1 ) = 5 (2 + 9 ) = 55 |
Dari rumus deret aritmatika ditemukan jumlah balok seluruhnya jika disusun sepuluh baris adalah 55 balok.
Baca juga: Program Linier, Contoh Soal dan Pembahasan
Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah susunan bilangan pada barisan geometri u1+ u2 +… + un dari suku pertama sampai suku-n. Secara konsep sebenarnya untuk deret geometri ini sederhana karena hanya menjumlahkan barisan geometri dari suku pertama sampai suku ke-n.
Rumus deret geometri
Jika u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , …, un merupakan suku-suku barisan geometri. Penjumlahan suku pertama sampai suku ke-n deret tersebut dinyatakan sebagai berikut.
a = u1 adalah suku pertama deret geometri, r adalah rasio barisan geometri.
(Manullang dkk., 2017)
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga divergen
Deret geometri tak hingga divergen adalah deret yang nilai bilangannya secara relatif semakin membesar (r ˃ 1 atau r ˂ -1). Bisa dilihat seperti di bawah ini,
1, 2, 4, 8, 16, … (r = 2 / 1 = 2, dan r ˃ 1)
1, -2, 4, -8, 16, … (r = -2 / 1 = -2, dan r ˂ -1)
-1, 2, -4, 8, -16, … (r = 2 / -1 = -2, dan r ˂ -1)
Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya secara relatif semakin besar atau nilainya tidak terhingga.
Deret geometri tak hingga konvergen
Deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya secara relatif semakin mengecil (-1 > r > 1). Bisa dilihat seperti di bawah ini,
16, 8, 4, 2, 1, ½, ….. (r = 8 / 16 = 1/2, dan -1 ˂ r ˂ 1)
16, -8, 4, -2, 1, -½, ….. (r = -8 / 16 = -1/2, dan -1 ˂ r ˂ 1)
-16, 8, -4, 2, -1, ½, ….. (r = 8 / -16 = -1/2, dan -1 ˂ r ˂ 1)
Semakin lama nilainya secara relatif semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jumlah seluruhnya. Syarat deret geometri tak hingga konvergen yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1). S∞ adalah jumlah deret geometri tak hingga konvergen, memiliki rumus:
Untuk lebih memahami rumus deret geometri, perhatikalah contoh soal dan pembahasan deret geometri berikut ini.
Contoh Soal
Seorang anak menjatuhkan bola dari ketinggian 100 cm, kemudian bola tersebut memantul sampai ketinggian 50 cm. Tentukanlah jarak yang dilalui bola sampai naik dari pantulan ketiga.
Pembahasan:
Ingat, pantulan pertama adalah U2 karena a adalah jarak awal bola dijatuhkan. Jadi pantulan ketiga adalah U4.
Rumus deret geometri
Ingat, hanya menghitung jarak yang ditempuh ketika bola naik atau turun saja. Jadi perhitungan jarak yang dilalui bola menjadi :
S = jarak bola turun + jarak bola naik – jarak bola dijatuhkan.
(dikurangi suku pertama karena bola awalnya dijatuhkan, bukan dilempar ke atas)
S = + – a
S = 175 + 187,5 – 100
S = 262,5
Dari rumus deret geometri ditemukan bahwa jarak yang dilalui bola sampai naik dari pantulan ketiga adalah 262,5 cm.
Contoh Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret
Untuk lebih memahami barisan dan deret, perhatikalah contoh 3 contoh soal barisan dan deret berikut ini.
Contoh soal barisan dan deret: Barisan dan deret aritmatika
Suatu perusahaan susu kental manis pada bulan Januari 2012 memproduksi susu kental manis sebanyak 50.000 kaleng. Setiap bulan perusahaan tersebut menaikkan produksinya secara tetap sebanyak 100 kaleng.
a. Berapa banyak susu kental manis yang diproduksi perusahaan pada bulan Juli 2013 ?
Pembahasan:
Rumus barisan aritmatika
un = a + (n – 1) b
u7 = 50.000 + (7 – 1) 100
u7 = 50.000 + 600
u7 = 50.600
Jadi banyak susu kental manis yang diproduksi perusahaan pada bulan Juli 2013 adalah 50.600 kaleng.
b. Berapa banyak susu kental manis yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013?
Pembahasan:
Rumus deret aritmatika
= (2a + (n – 1) b )
= (2 × 50.000 + (6 – 1) 100 )
= 301.500
Jadi banyak susu kental manis yang diproduksi perusahaan sampai akhir bulan Juni 2013 adalah 301.500 kaleng.
Contoh soal barisan dan deret: Barisan dan deret geometri
Jika pada sekali percobaan, suatu bakteri dapat membelah diri dengan rasio tertentu dalam setiap detik. Diketahui jumlah awal bakteri adalah 50 dan bakteri tersebut dikondisikan hanya dapat berkembang biak sampai detik kelima jumlahnya menjadi 800 bakteri.
a. Tentukanlah rasio bakteri tersebut berkembang biak.
Pembahasan :
Rumus barisan geometri
un = a . rn–1
800 = 50 . r5–1
16 = r4
r = 2
Jadi rasio bakteri tersebut berkembang biak adalah 2.
b. Jika pada percobaan bakteri tersebut dikondisikan hanya dapat berkembang biak sampai detik keenam dan begitu seterusnya. Tentukanlah jumlah bakteri dari percobaan awal sampai percobaan kelima.
Pembahasan :
Rumus deret geometri
Ingat, percobaan pertama hanya sampai detik kelima, percobaan kedua hanya sampai detik keenam. Berarti percobaan kelima hanya sampai detik kesembilan.
Ingat, bahwa percobaan pertama langsung dikondisikan hanya sampai detik kelima, sehingga detik pertama hingga detik keempat jumlah bakteri tidak diperhitungkan.
Jadi perhitungan jumlah bakteri dari percobaan pertama hingga percobaan menjadi,
S = S9 – S4
S = 25.550 – 750
S = 24.800
Jadi jumlah bakteri dari percobaan awal sampai percobaan kelima adalah 24.800 bakteri.
Contoh soal barisan dan deret: Barisan dan deret geometri
Seorang anak yang menyukai prakarya mempunyai selembar kertas yang dipotong menjadi tiga setiap sepuluh detik.
a. Berapakah bagian kertas tersebut setelah satu menit ?
Pembahasan :
Ingat,
1 menit = 60 detik, karena dipotong setiap sepuluh detik berarti selama semenit sudah 60 / 10 = 6 kali kertas tersebut dipotong. Bisa dikatan bahwa n = 7 karena sebelum dipotong, suku pertama adalah 1.
Rumus barisan geometri
un = a . rn–1
u7 = 1 . (1/3)7–1
u7 = (1/3)6 = 1/729
Jadi 1/729 bagian kertas tersebut setelah satu menit.
b. Jika kertas tersebut dipotong sampai tidak bisa lagi dipotong dan anggaplah bahwa kertas yang dipotong selalu menggunakan kertas yang baru. Tentukanlah jumlah kertas tersebut dari awal selembar kertas sampai tidak bisa dipotong !
Pembahasan:
Rumus deret geometri
Jadi jumlah kertas tersebut dari awal selembar kertas sampai tidak bisa dipotong adalah 1,5 kali dari kertas utuh.
Baca juga: Transformasi Geometri, Translasi, Refleksi, Rotasi dan Dilatasi
Pemahaman Akhir
Barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri. Barisan adalah urutan bilangan dengan pola tertentu, sedangkan deret adalah hasil penjumlahan bilangan berurutan dalam suatu barisan. Barisan dan deret aritmatika memiliki pola angka dengan beda setiap dua suku yang berurutan sama, sementara barisan dan deret geometri memiliki pola angka dengan rasio setiap dua suku yang berurutan sama.
Dalam menemukan pola barisan, konsep tentang fungsi digunakan untuk mengenali aturan bilangan yang tersusun berurutan. Barisan aritmatika memiliki beda setiap dua suku yang berurutan yang tetap, sedangkan barisan geometri memiliki rasio antara dua suku berurutan yang selalu sama.
Rumus barisan aritmatika digunakan untuk menemukan suku ke-n dalam barisan tersebut, dengan a sebagai suku pertama dan b sebagai beda barisan. Rumus deret aritmatika digunakan untuk menghitung jumlah dari suku pertama hingga suku ke-n dalam deret aritmatika.
Sementara itu, rumus barisan geometri digunakan untuk menemukan suku ke-n dalam barisan geometri, dengan a sebagai suku pertama dan r sebagai rasio barisan. Rumus deret geometri digunakan untuk menghitung jumlah dari suku pertama hingga suku ke-n dalam deret geometri.
Selain itu, diperlihatkan pula contoh soal dan pembahasan mengenai barisan dan deret aritmatika, serta barisan dan deret geometri. Contoh soal tersebut memberikan gambaran bagaimana menerapkan rumus-rumus yang telah dipelajari untuk menyelesaikan permasalahan dalam barisan dan deret.
Pemahaman mengenai barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri sangat penting dalam matematika, terutama dalam analisis pola dan perhitungan jumlah suku dalam suatu deret. Dengan pemahaman ini, kita dapat lebih mudah mengidentifikasi pola bilangan dan menghitung jumlah suku dalam suatu barisan atau deret secara efisien.
Demikianlah penjelasan materi baris dan deret baik aritmatika dan geometri. Semoga teman-teman dapat mempelajari dengan baik materi ini.
Daftar Pustaka
Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika Kelas XI. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
