Matriks: Jenis, Determinan dan Invers

Matriks merupakan suatu pelajaran matematika yang memiliki banyak kegunaannya. Jika teman-teman pernah melihat susunan rak yang ada di supermarket dan juga sususan duduk teman-teman di kelas itu adalah sebagian kecil contoh matriks. Untuk mempelajari lebih dalam materi matriks bisa melalui artikel ini.

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk kolom / baris / persegi / persegi panjang / segitiga / diagonal. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Bentuk dari matriks secara umum seperti berikut ini :

Keterangan :

a_ij                  : entry matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan, i = 1, 2, 3, .., m; dan j = 1, 2, 3, …, n.

m × n        : menyatakan ordo matriks A dengan m adalah banyak baris dan n banyak kolom matriks A.

Baca juga: Materi Program Linier

Jenis-Jenis Matriks

Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja dengan beberapa baris. Matriks kolom berordo m × 1, dengan m banyak baris pada matriks tersebut.

Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja dengan beberapa kolom. Biasanya, ordo matriks seperti ini adalah 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.

Matriks Persegi Panjang

Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya atau berbentuk persegi panjang. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n.

Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama atau berbentuk persegi. Matriks ini memiliki ordo n × n.

Matriks Segitiga

Matriks segitiga merupakan suatu matriks persegi berordo n × n dengan entry-entry matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol membentuk segitiga.

Matriks Diagonal

Matriks persegi dengan pola “semua entrynya bernilai nol, kecuali entry diagonal utama tidak semua nol” disebut matriks diagonal.

Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika :

1. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
2. Setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, a_ij = b_ij (untuk semua nilai i dan j).

Contoh dua matriks yang sama :

Dimana ordo matriks A sama dengan ordo matriks B yaitu 2 × 2, serta setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, a_ij = b_ij (untuk semua nilai i dan j).

Operasi Matriks

Penjumlahan Matriks

A dan B adalah matriks berordo m × n dengan entry-entry a_ij dan b_ij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis :

C = A + B

Apabila matriks C juga berordo m × n dengan entry-entry (untuk semua i dan j). ditentukan oleh:

c_ij = a_ij + b_ij

Misalkan B sebuah matriks dengan ordo n × m, n ∈ N. Hasilnya penjumlahan matriks B sebanyak k dengan k ∈ N adalah k B, hasilnya adalah matriks k B berordo n × n yang ditulis :

B + B + B + B = k B

Misalkan matriks A dan B berordo n × k. Penjumlahan matriks A dan B memenuhi sifat komutatif jika :

A + B = B + A

Misalkan matriks A, B dan C berordo n × k. Penjumlahan matriks A, B dan C memenuhi sifat asosiatif jika :

A + (B + C) = (A + B) + C

Pengurangan Matriks

A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan matriks -B. Ingat, Matriks –B adalah lawan dari matriks B. Ditulis:

A – B = A + (–B)

Matriks dalam kurung merupakan matriks yang entrynya berlawanan dengan setiap entry yang bersesuaian matriks B. Sedangkan untuk pengurangan dua matriks dapat juga kamu lakukan dengan cara mengurangkan entry-entry yang letaknya sama dari kedua matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks ini:

A – B = [a_ij] – [b_ij]

Perkalian Skalar

A adalah suatu matriks berordo m × n dengan entry-entry a_ij dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k terhadap matriks A, dinotasikan :

C = k.A

Bila matriks C berordo m × n dengan entry-entrynya (untuk semua i dan j) ditentukan oleh:

c_ij = k.a_ij

Perkalian Matriks

A adalah matriks yang berordo m × p dan B adalah matriks yang berordo q × n. Perkalian matriks A dan matriks B adalah suatu matriks C berordo m × n yang dinotasikan A × B = C = [c_ij] berordo m × n dengan elemen baris ke-i (i = 1,2,3, …, m) dan kolom ke-j (j = 1,2,3,…, n.) adalah :

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j + …+ a_im b_pn

Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo p × q dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat asosiatif jika :

A × (B × C) = (A × B) × C

Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi penjumlahan matriks jika :

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

Misalkan matriks A berordo p × q dan n ∈ N, dengan A sejumlah n dinyatakan :

Aⁿ = A × A × A × ….

Transpose Matriks

Transpose matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan menukar entry baris menjadi entry kolom dan sebaliknya, sehingga berordo n × m.

Notasi transpose matriks A_m×n adalah A^t_m×n.

Transpose matriks merubah posisi entry-entry matriks. Perubahan transpose matriks seperti entry baris ke-1 pada matriks A menjadi entry kolom ke-1 pada matriks A^t, setiap entry baris ke-2 pada matriks menjadi entry kolom ke-2 pada matriks A^t, demikian seterusnya, hingga semua entry baris pada matriks A menjadi entry kolom pada matriks A^t.

Baca juga: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Contoh dan Cara Penyelesaian

Determinan Matriks Berordo 2 × 2 dan 3 × 3

Determinan Matriks 2 × 2

Determinan Matriks 3 × 3

Determinan Matriks 3 × 3 merupakan hasil penjumlahan dari perkalian tiga entry diagonal menurun ke kanan dikurangi penjumlahan dari perkalian tiga entry diagonal menanjak ke kanan. Supaya lebih mudah memahami determinan matriks 3 × 3, perhatikan garis-garis diagonal berikut ini :

Sifat-sifat Determinan matriks:

Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m ∈ N. Jika determinan determinan matriks A dinotasikan |A| dan determinan matriks B dinotasikan |B|, maka berlaku :

|AB| = |A|.|B|

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A =  dan det A^t = |A^t|, maka berlaku :

|A |= |A^t|

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det (A) =  dan det A^-1 = |A^-1|maka | A^-1 | = -1 / |A|.

Invers Matriks 3 × 3 dan 2 × 2

Matriks A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N.

• Matriks A disebut matriks tidak singular, apabila det (A) ≠ 0.
• Matriks A disebut matriks singular, apabila det (A) = 0.
• Matriks invers A^-1 disebut invers matriks A jika dan hanya jika A A^-1 = A^-1 A = I, dengan I adalah matriks identitas perkalian matriks.

Salah satu sifat invers matriks adalah A^–1 . A = A . A^–1 = I . Persamaan tersebut dapat dimodifikasi menjadi rumus invers matriks berikut ini.

Rumus Invers Matriks :

A^–1 . A . X            = A^–1 B

(semua ruas pada rumus invers matriks dikalikan matriks invers A^–1).

(A^–1 . A) . X         = A^–1 B

I . X                      = A^–1 B

X                          = A^–1 B           (karena rumus invers matriks I . X = X)

Rumus invers matriks berlaku secara umum, dengan syarat det A ≠ 0.

Sifat-sifat invers matriks :

Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Det (A) ≠ 0. Jika matriks invers A^-1 adalah invers matriks A, maka berlaku :

(A^-1)^-1 = A

Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n ∈ N. Det (A) ≠ 0 dan det (B) ≠ 0. Jika matriks invers A^-1 dan B^-1 adalah invers matriks A dan B maka matriks invers (AB)^-1 = B^-1 A^-1.

Invers Matriks Berordo 2 × 2

Matriks persegi A berordo 2 × 2.

Invers Matriks Berordo 3 × 3

Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj (A) = (k_ij)^t .

Kofaktor suatu entry baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan:

k_ij = (–1)^i+j |M_ij| = (–1)^ij det (M_ij).

Jika digabungkan invers matriks 3 × 3

Matriks Singular

Matriks singular atau matriks non-invertible adalah matriks yang tidak bisa di hitung apabila determinan dari matriks tersebut adalah 0 (nol). Jika determinan matriks singular adalah nol, maka akan menghasilkan nilai invers matriks singular sama dengan tidak berhingga.

Ciri-ciri matriks singular :

• Semua elemen pada suatu baris adalah kelipatan dari elemen atau anggota pada baris lain.
• Semua elemen pada suatu kolom adalah kelipatan dari elemen atau anggota pada kolom lain.
• Semua elemen pada suatu baris adalah hasil penjumlahan dari beberapa baris lain. Semua elemen pada suatu kolom adalah hasil penjumlahan dari beberapa kolom lain .
• Semua elemen dalam suatu baris atau kolom sama dengan nol.

Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan elemen diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen lain bernilai nol. Sifat matriks identitas ini adalah seperti bilangan 1. Artinya jika matriks A dikalikan dengan matriks identitas hasilnya tidak akan berubah :

A . I = A   dan      I . A = A

Berikut adalah contoh matriks identitas :

Untuk lebih memahaminya, perhatikan contoh soal matriks berikut ini yang terdiri dari soal matriks dan pembahasan matriks.

Contoh Soal Matriks

Berikut adalah contoh soal dan pembahasan matriks :

1. Jika A dan B adalah matriks yang sama, tentukan z, y, f dan g.

Jadi nilai z, y, f dan g secara berurutan adalah 2, 7, 15, dan 1.

2. Tentukan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar (k = 5), dan perkalian antara matriks berikut ini

3. Jika det A sama dengan det B, tentukan nilai dari r!

Pembahasan :

det A = (r + 2)5 – 2 = 5r + 10 – 2 = 5r + 8

det B = (6 × 2 × 9) + (7 × 4 × 5) + (3 × 1 × 8) – (5 ×2 × 3) – (8 × 4 × 6) – (9 × 1 × 7) = – 13

det A = det B

5r + 8 = -13

5r = -21

r = -21 / 5

Jadi nilai r adalah -21 / 5.

Baca juga: Materi Induksi Matematika

Pemahaman Akhir

Matriks merupakan suatu pelajaran matematika yang memiliki banyak kegunaan dalam berbagai bidang. Matriks dapat digunakan untuk merepresentasikan data, menyelesaikan sistem persamaan linear, melakukan transformasi geometri, dan banyak lagi. Contoh penerapan matriks yang seringkali kita temui dalam kehidupan sehari-hari adalah susunan rak di supermarket atau susunan duduk di kelas.

Matriks merupakan susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Berdasarkan bentuknya, matriks dapat dikelompokkan menjadi matriks kolom, matriks baris, matriks persegi panjang, matriks persegi, matriks segitiga, dan matriks diagonal.

Operasi matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian antara matriks. Matriks juga dapat dipangkatkan untuk memperoleh hasil perkalian berulang. Operasi matriks memiliki sifat-sifat komutatif dan asosiatif yang memudahkan dalam manipulasi matriks.

Determinan matriks adalah nilai yang berkaitan dengan sifat-sifat matriks dan penting dalam menentukan apakah matriks memiliki invers atau tidak. Matriks yang memiliki determinan nol disebut matriks singular atau non-invertible.

Invers matriks merupakan operasi untuk menemukan matriks balikan dari matriks asli. Matriks invers hanya dapat ditemukan jika determinan matriks tersebut tidak sama dengan nol. Invers matriks digunakan dalam pemecahan sistem persamaan linear dan transformasi geometri.

Matriks identitas adalah matriks khusus yang elemen diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol. Matriks identitas berperan seperti elemen identitas dalam operasi perkalian matriks.

Pemahaman tentang matriks menjadi dasar penting dalam studi matematika lebih lanjut, terutama dalam kalkulus, statistik, dan ilmu sains lainnya. Kemampuan untuk memahami, mengoperasikan, dan menerapkan matriks akan memberikan manfaat yang besar dalam memecahkan berbagai masalah matematika dan aplikasi dunia nyata.

Demikianlah penjelasan mengenai materi matriks semoga teman-teman semua dapat mempelajarinya dengan baik. Kemudian teman-teman juga dapat mengerti dan pahan dengan materi matriks ini.

Daftar Pustaka :

Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.