Polinomial: Penjelasan Serta Contoh Soal

Ketika kita masih berada di bangku SMP, kita telah mengenal bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat yang sering kita gunakan adalah pangkat 2 dan pangkat 3. Nah, kali ini kita akan belajar mengenai bilangan yang memiliki pangkat yang banyak atau polinomial. Sehingga pangkatnya tidak hanya sampai pangkat 3, bisa pangkat 10, 100 bahkan 1000. Wah penasaran dengan materinya? Yuk mari kita pelajari bersama materi polinomial secara lengkap di sini.

Pengertian, Penyelesaian dan Penerapan Polinomial

Pengertian

Polinomial atau suku banyak adalah suatu bentuk bilangan yang memuat variabel berpangkat minimal satu. Suku banyak dalam koefisien a, variabel x berderajat n dinyatakan dengan :

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₁ x + a₀

Dengan syarat :

n merupakan bilangan cacah

a_n , a_{n – 1}, … , a₀ merupakan koefisien – koefisien suku banyak,

a₀ merupakan suku tetap dan a_n ≠ 0.

Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar

Cara Penyelesaian

Suatu suku banyak dengan derajat n dapat dituliskan ke dalam bentuk fungsi f(x) seperti berikut ini.

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₁ x + a₀ ,di mana n ∈ bilangan cacah dan a_n ≠ 0.

Dengan syarat :

n merupakan bilangan cacah

dan a_n ≠ 0.

Nilai fungsi  f(x) tersebut merupakan nilai suku banyak. Penentuan nilai suku banyak dapat diselesaikan dengan dua cara yaitu subtitusi dan horner / bangun / skema / sintetik.

• Cara substitusi

Suatu suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Jika nilai x diganti k, maka nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak³ + bk² + ck + d.

• Cara horner / bangun / skema / sintetik

Suatu suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Jika akan ditentukan nilai suku banyak x = k, maka :

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f(x) = (ax² + bx + c) x + d

f(x) = ((ax + b) x + c) x + d

Sehingga f(x) = ((ak + b) k + c) k + d.

Bentuk tersebut dapat disajikan dalam bentuk skema berikut ini

Penerapan Polinomial

a. Polinomial untuk Pemodelan atau Fisika

Polinomial digunakan untuk mengetahui lintasan proyektil dalam fisika. Integral polinomial (penjumlahan polinomial banyak) digunakan untuk mengekspresikan energi, perbedaan tegangan dan inersia.

b. Polinomial dalam Industri

Polinomial dalam Industri berkaitan dengan fenomena fisik atau situasi pemodelan untuk masa depan, polinomial berguna setiap hari. Orang yang berprofesi sebagai insinyur dan pengusaha menggunakan polinomial untuk memprediksi bagaimana perubahan salah satu faktor dalam hidup manusia dapat mempengaruhi hal lain, bahkan tidak menyadarinya.

c. Penerbangan Pesawat

Polinomial dalam penerbangan pesawat digunakan pada analisa jatuhnya pesawat terbang. Faktor-faktor yang berpengaruh dalam mengudaranya pesawat terbang adalah juga faktor-faktor penyebab dalam  jatuhnya pesawat terbang. Faktor-faktor ini adalah kelalaian SDM, kinerja mesin pesawat terbang, kondisi badan pesawat terbang yang tidak layak, cuaca yang tidak mendukung, dan kondisi yang tidak terduga. Dibutuhkan solusi untuk masalah tersebut yang inisiatif yaitu untuk menerapkan polinomial sebagai faktor, jika faktor diberi nama suku x₁, x₂, x₃, …., x_n maka terdapat banyak suku dalam satu kesatuan.

d. Jarak Sepeda Motor

Polinomial dalam perhitungan jarak sepeda motor dapat dinyatakan hubungan antara jarak yang dilalui itu adalah s(t), waktu tempuh adalah (t). Gerak sebuah sepeda motor dinyatakan dengan persamaan s(t) = 48t² – 3t. Dalam hal ini, s(t) dalam meter dan t dalam menit. Sehingga dengan persamaan tersebut kita dapat menerapkan polinomial dalam menghitung misalnya jarak sepeda motor setelah 5 menit, 10 menit, maupun 1 jam (60 menit).

e. bidang bisnis

Polinomial dalam pemodelan digunakan untuk mengetahui harga akan berubah dari waktu ke waktu di pasar saham. Seorang pebisnis menggunakan polinomial untuk memprediksi pengaruh penurunan atau kenaikan harga suatu barang pada hasil penjualan suatu barang di pasar model.

Operasi Aljabar pada Polinomial

1. Penjumlahan

Penjumlahan polinomial f(x) dan polinomial h(x) adalah dengan cara menjumlahkan suku yang sejenis. Contohnya suku sejenis 5x³ dan 7x³ dapat ditambahkan menjadi 12x³. Namun suku yang berlainan jenis 5x⁴ dan 7x³ bila ditambahkan menjadi 5x⁴ + 7x³. Jadi, dalam menjumlahkan polinomial perlu memperhatikan pangkatnya.

2. Pengurangan

Pengurangan polinomial f(x) dan polinomial h(x) adalah dengan cara mengurangkan suku yang sejenisnya. Contohnya suku sejenis 9x² dan 2x² dapat dikurangkan menjadi 7x². Namun jika suku berlainan jenis 9x³ dan 2x² bila dikurangkan menjadi 9x³ – 2x². Jadi, dalam mengurangkan polinomial perlu memperhatikan pangkatnya.

3. Perkalian

polinomial f(x) dengan polinomial h(x) adalah dengan cara saling mengalikan suku-suku dari kedua polinomial menggunakan sifat distributif perkalian. Sifat ini berlaku pada distributif perkalian terhadap operasi penjumlahan maupun distributif perkalian terhadap operasi pengurangan.

f(x) ⦁ g(x) = (ax³ + bx² + cx + d) (ex³ + fx² + gx + h)

= aex⁶ + (af + be) x⁵ + (ag + bf + ce) x⁴ + (ah + bg + cf + de) x³ + (bh + cg + df) x² + (ch + dg) x + dh

4. Pembagian

Pada pembagian polinomial terdapat beberapa metode seperi cara bersususn dan horner yang akan dibahas pada subab “Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Suatu Polinom dengan Cara Bersusun dan Horner”. Sebelumnya akan dibahas tentang dasar dari hasil bagi dan sisa dari pembagian polinom. Pembagian dengan cara koefisien tak tentu mengikuti definisi pembagian polinomial  p(x) = q(x) • h(x) + s(x).

p(x) = q(x) • h(x) + s(x)

Keterangan :

p(x) = yang dibagi

q(x) = pembagi

h(x) = hasil bagi

s(x) = sisa pembagian

Sifat Keterbagian dan Faktorisasi Polinomial

1. Sifat Keterbagian Polinomial

Jika suatu polinomial berbentuk pecahan dengan derajat pembilang tidak lebih kecil dari penyebut, maka polinomial dapat disederhanakan dengan keduanya dibagi dengan bilangan yang sama besar. Suatu polinom p(x) dapat dibagi dengan polinom lainnya q(x) dengan derajat lebih kecil dan hasilnya h(x) serta sisa pembagian adalah s(x), yaitu :

2. Faktorisasi Polinomial

Faktor dari suatu ekspresi matematika adalah bilangan, variabel, konstata, suku, dan koefisien yang membagi habis ekspresi matematika tersebut. Perhatikan bahwa setiap bentuk atau ekspresi matematika memiliki paling sedikit dua faktor yaitu bilangan 1 dan dirinya sendiri.

Teorema Sisa

1. Penggunaan Teorema Sisa

Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Linear

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear, kita dapat menggunakan teorema sisa.

• Teorema Sisa 1 :

Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).

• Teorema Sisa 2 :

Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak oleh Bentuk Kuadrat

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.

• Teorema Sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (ax + b) (x – b), maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q.

Pembuktian Teorema Sisa

• Pembuktian teorema sisa 1

Teorema sisa 1 menyatakan bahwa jika suatu polinomial f(x) dibagi dengan bentuk linier (x – m), maka sisa pembagiannya adalah f(m). Diketahui bahwa polinomial f(x) = (x – m) h(x) + S. Derajat S lebih rendah satu daripada derajat (x – m), sehingga S merupakan suatu konstanta. Karena polinomial f(x) = (x – m) h(x) + S berlaku untuk semua x, maka jika x diganti m akan menjadi :

f (k) = (k – k) h(k) + S

= 0 ⋅ h(k) + S

= 0 + S

= S

Jadi, f (k) = S → S merupakan sisa pembagian (terbukti).

• Pembuktian teorema sisa 2

Baca juga: Integral: Pembahasan Serta Contoh Soal

Kesamaan Dua Pilonom

Dua polinomial dinyatakan sama jika memenuhi syarat yaitu terdapat kesamaan pada derajat beserta suku yang bersesuaian. Contohnya adalah dua polinom f(x) dan h(x) yang berderajat n dinyatakan sebagai berikut ini.

f(x) = a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₁ x + a₀

g(x) = b_n xⁿ + b_{n – 1} x^{n – 1} + b_{n – 2} x^{n – 2} + … + b₁ x + b₀

Jika f(x) ≡ g(x) maka haruslah a_n = b_n,  a_n-1 = b_n-1, ……… a₁ = b₁

f(x) ≡ g(x) disebut dengan kesamaan polinomial.

Dua buah persamaan polinomial dinyatakan memiliki kesamaan jika keduanya polinomial memenuhi syarat yaitu memiliki derajat yang sama, variabel dan koefisien seletak yang sama antara polinomial ruas kiri dengan ruas kanan. Untuk menyelesaikan persoalan kesamaan polinomial adalah dengan menyamakan polinomial yang sudah diketahui koefisiennya dengan polinomial yang belum diketahui koefisiennya. Selanjutnya samakan koefisien suku yang bersesuaian, selesaikan bentuk persamaan yang didapat dari hasil menyamakan koefisien suku  yang bersesuaian. Penyelesaiannya didapatkan secara langsung atau perlu menggunakan eliminasi  dan subtitusi.

Menentukan Hasil Bagi dan Sisa Suatu Polinom dengan Cara Bersusun dan Horner

Derajat adalah pangkat tertinggi dari variabel yang terdapat pada suatu polinomial. Jika suatu polinomial a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … + a₁ x + a₀ , maka derajat dari polinomial tersebut adalah n. Suatu polinomial ax³ + bx² + cx + d dibagi oleh bentuk linier (x – k). Untuk mengetahui derajat polinomial pada hasil bagi dengan pembagian cara susun dilakukan perhitungan sebagai berikut.

Dari cara susun tersebut diperoleh ax² + (ak + b) x + (ak² + b + c) adalah hasil bagi. Suatu polinomial berderajat 3, ax³ + bx² + cx + d dibagi oleh suatu bentuk linier (x – k) hasil baginya adalah berderajat 2 dan ak³ + bk² + ck + d adalah sisa pembagian. Suatu polinomial f(x) dibagi bentuk linier (x – k) menghasilkan h(x) adalah hasil bagi dan f(k) adalah sisa pembagian, sehingga polinomial f(x) = (x – k) h(x) + f(k). Perhatikanlah penentuan nilai polinomial dengan cara Horner berikut ini.

Jika kita bandingkan hasil di atas dengan pembagian cara susun, maka diperoleh hasil sebagai berikut.

1. ak³ + bk² + ck + d merupakan hasil bagi.
2. a, ak + b, dan ak² + bk + c merupakan koefisien hasil bagi berderajat 2.

Dalam mencari nilai polinomial dapat digunakan dengan cara Horner untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan pembagi bentuk linier (x – k). Jika polinomial f(x) berderajat n dibagi oleh fungsi berderajat satu akan menghasilkan hasil bagi berderajat (n – 1) dan sisa pembagian berbentuk konstanta.

Menentukan Sisa Suatu Polinom oleh (ax + b)

Pembagian polinomial dengan pembagi bentuk linier (x – m) merupakan dasar perhitungan pembagian polinomial dengan pembagi bentuk linier (ax + b). Polinomial f(x) dibagi bentuk linier (x – m) menghasilkan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian f(m), sehingga polinomial f(x) = (x – m) h(x) + f(m). Pembagian suku banyak f(x) dibagi (ax + b),

Sehingga pada pembagian suku banyak f(x) tersebut dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.

Menentukan Sisa Pembagian oleh (x – a) (x – b)

Dalam menentukan sisa pembagian polinomial oleh bentuk kuadrat, penyelesaiannya bisa menggunakan teroma sisa berikut ini. Jika suatu polinomial f(x) dibagi bentuk kuadrat (x – a) (x – b) maka sisanya adalah px + q dengan :

f(a) = pa + q

f(b) = pb + q

Memahami Teorema Faktor

Penggunaan Teorema Faktor Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak. Perhatikan teorema faktor berikut ini.

Penggunaan Teorema Faktor

Teorema faktor digunakan untuk menentukan faktor linear dari polinomial. Jika suatu polinomial f(x), maka (x – m) merupakan faktor dari polinomial f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Mencari penyelesaian persamaan polinomial sama halnya dengan menentukan akar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan polinomial dengan menentukan faktor linear. Jika f(x) suatu polinomial, maka (x – m) merupakan faktor dari polinomial f(x) jika dan hanya jika m akar persamaan f(x) = 0.

Pembuktian Teorema Faktor

Teorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) merupakan suatu polinomial, maka x – n merupakan faktor dari polinomial f(x) jika dan hanya jika polinomial f(n) = 0. Menurut teorema sisa polinomial f(x) = (x – m)⋅ h(x) + f(m). Jika polinomial f(m) = 0, maka f(x) = (x – m)⋅ h(x). Sehingga x – m merupakan faktor dari polinomial f(x). Sebaliknya, jika x – m merupakan faktor dari polinomial f(x), maka polinomial f(x) = (x – m) ⋅ h(x).

Jika x = m, maka :

f (m) = (m – m)⋅ h(m)

f (m) = 0⋅ h(m)

f (m) = 0

Jadi, f (m) = 0 jika dan hanya jika (x – m) merupakan faktor dari polinomial f(x) telah terbukti.

Hasil Bagi dan Sisanya Polinom Jika Dibagi dengan Suku Banyak Berderajat Dua

Pembagian polinomial dengan suku banyak berderajat dua ax² + bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara susun bila suku banyak berderajat dua ax² + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika suku banyak berderajat dua ax² + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Contohnya suatu polinomial f(x) dibagi suku banyak berderajat dua ax² + bx + c dengan a ≠ 0 dan dapat difaktorkan menjadi (ax – p₁) (x – p₂). Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini.

Menentukan Operasi Aljabar Akar-akar Polinom

Menentukan Akar Rasional

Jika diketahui suatu suku banyak f(x) dan (x – a) adalah faktor dari f(x), maka a adalah akar dari persamaan f(x) atau f(a) = 0.

Sifat-Sifat Akar Persamaan Suku Banyak

Untuk Suku Banyak Berderajat Dua : ax² + bx + c = 0 Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka :

Contoh Soal dan Pembahasan Polinomial

Untuk lebih memahami polinomial mari kita pelajari contoh soal dan pembahasan polinomial berikut ini :

1. Tentukanlah derajat dari hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut !

3x³ + x² – 9 dibagi x – 2.

Pembahasan:

Cara Susun

Dari penyelesaian tersebut diperoleh 3x³ + x² – 9 sebagai hasil bagi berderajat 2 dan 21 sebagai sisa pembagian.

2. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian jika :

5x³ + x² + 2x – 1 dibagi (x² + 5x +6)

Pembahasan:

Cara Horner

(x² + 5x +6) difaktorkan menjadi (x + 3) (x + 2)

3. Jika f(x) = x³ + 5x² – 3x + 10 dibagi (x – 2) (x – 5), tentukan sisa pembagiannya !

Pembahasan:

f(x) dibagi (x – a) (x – b) maka sisanya adalah px + q dengan :

f(a) = pa + q

f(b) = pb + q

f(x) = x³ + 5x² – 3x + 10 dibagi (x – 2) (x – 5), maka sisanya adalah px + q dengan :

f(2) = (2)³ + 5(2)² – 3(2) + 10 = 32 = 2p + q à q = 32 – 2p

f(5) = (5)³ + 5(5)² – 3(5) + 10 = 245 = 5p + q à q = 245 – 5p

q = q

245 – 5p = 32 – 2p

213 = 3p

p = 71

q = 32 – 2p

q = 32 – 2(71) = 32 – 142 = – 110

px + q = 71x -110

Jadi sisa pembagian dari f(x) = x³ + 5x² – 3x + 10 dibagi (x – 2) (x – 5) adalah 71x -110.

Baca juga: Jumlah dan Selisih Sinus

Pemahaman Akhir

• Polinomial adalah bentuk bilangan yang memuat variabel berpangkat minimal satu.
• Polinomial terdiri dari koefisien, variabel, dan pangkat yang membentuk suku-suku.
• Polinomial dapat dituliskan dalam bentuk fungsi f(x) dengan derajat tertentu, di mana derajat merupakan pangkat tertinggi dari variabel x.
• Penyelesaian polinomial dapat dilakukan dengan cara substitusi atau menggunakan metode Horner/skema/sintetik.
• Polinomial memiliki berbagai penerapan dalam berbagai bidang, seperti pemodelan fisika, industri, penerbangan pesawat, perhitungan jarak sepeda motor, dan bisnis.
• Operasi aljabar pada polinomial meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Penjumlahan dan pengurangan dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan suku yang sejenis. Perkalian polinomial dilakukan dengan mengalikan suku-suku dari kedua polinomial menggunakan sifat distributif perkalian. Pembagian polinomial memiliki metode seperti cara bersusun dan metode Horner.
• Polinomial dapat difaktorisasi menjadi faktor-faktor yang membagi habis ekspresi matematika tersebut.
• Teorema Sisa digunakan untuk menentukan sisa pembagian polinomial oleh bentuk linear atau bentuk kuadrat.
• Kesamaan dua polinomial terjadi ketika koefisien dan derajat suku yang bersesuaian pada kedua polinomial sama.
• Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suatu polinom, dapat menggunakan metode pembagian cara bersusun atau metode Horner.

Materi polinomial memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang dan operasi aljabar pada polinomial memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan dan penyelesaian masalah yang melibatkan polinomial.

Daftar Pustaka

Iskandar, Haris. 2017. Penerapan Polinomial dalam Pengembangan Ilmu dan Teknologi Sehari-hari. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Kanginan, M., Hidayah, N.H, Akhmad. G. 2016. Matematika untuk siswa SMA/MA kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Yrama Widya.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA Kelas XI IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.