Jumlah dan Selisih Sinus, Cosinus, dan Tangen

Jumlah dan selisih sudut merupakan suatu materi yang penting. Karena dengan adanya materi ini dapat membantu teman-teman semua untuk menentukan suatu sudut yang tidak termasuk dalam sudut istimewa. Kita bisa menjumlahkan dan juga mengurangkan suatu sudut. Tujuannya agar mempermudah kita menentukan nilai sudut.

Pengertian Jumlah dan Selisih Sinus, Cosinus, dan Tangen

Jumlah merupakan suatu penjumlahan dari kedua sudut. Misalnya kita menentukan nilai suatu sudut dengan menggunakan rumus jumlah agar memudahkan kita dalam menentukan nilainya. Contohnya sin 75⁰ kita bisa mencarinya dengan cara sin (60⁰ + 15⁰). Penjumlahan ini biasanya kita simbolkan dengan sin (α + β).

Selisih merupakan suatu pengurangan dari kedua sudut. Misalnya kita ingin menentukan nilai sudut dengan menggunakan rumus selisih agar memudahkan kita menentukan nilai sudutnya. Contohnya kita ingin menentukan nilai cos 75⁰ maka kita bisa mencarinya dengan cara cos (60⁰ + 15⁰). Selisih tersebut biasanya disimbolkan dengan cos (α – β). Dalam hal ini 60⁰ merupakan salah satu sudut istimewa.

Agar teman-teman tidak lupa dengan nilai-nilai sudut istimewa teman-teman bisa mengingatnya melalui tabel trigonometri khusus untuk sudut istimewa. Nah, berikut adalah tabel trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

Baca juga: Barisan dan Deret Serta Contoh Soal

Tabel Trigonometri

Tabel trigonometri pada kuadran I

Tabel trigonometri pada kuadran II

Tabel trigonometri pada kuadran III

Tabel trigonometri pada kuadran VI

Rumus Cosinus (α ±  β)

• Rumus cosinus jumlah dua sudut :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

• Rumus cosinus selisih dua sudut :

cos (α –  β)= cos α cos β + sin α sin β

Rumus Sinus (α ±  β)

• Rumus sinus jumlah dua sudut :

sin (α + β) = sin α cos β  + cos α sin β

• Rumus sinus selisih dua sudut :

sin (α –  β) = sin α cos β  – cos α sin β

Rumus Tan (α ±  β)

Contoh Soal Selisih Sudut

Untuk lebih memahami materi jumlah dan selisih sudut ini mari kita pelajari contoh soal dan pembahasan sinus, cosinus dan tangen berikut ini.

1. Contoh Soal dan pembahasan jumlah dan selisih cosinus

Diketahui sin α = 12/13 , sin β = 7/25, dan α dan β merupakan sudut lancip.

a. Tentukan cos (α + β)

b. Tentukan cos (α – β)

Pembahasan:

Kita gunakan rumus cosinus

• Rumus cosinus jumlah dua sudut :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

• Rumus cosinus selisih dua sudut :

cos (α –  β)= cos α cos β + sin α sin β

sin α = 12 / 13, maka cos α = 5 / 13 (kuadran I)

sin β = 7 / 25, maka cos β = 24 / 25 (kuadran I)

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α + β) = (5 / 13) (24 / 25) – (12 / 13) (7 / 25)

cos (α + β)  = (120 / 325) – (84 / 325)

cos (α + β) = 36 / 325

Jadi nilai dari cos (α + β) adalah 36 / 325.

cos (α  –  β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α  –  β) = (5 / 13) (24 / 25) + (12 / 13) (7 / 25)

cos (α  –  β) = (120 / 325) + (84 / 325)

cos (α  –  β) = 204 / 325

Jadi nilai dari cos (α  –  β) adalah 204 / 325.

2. Contoh Soal dan pembahasan jumlah dan selisih sinus

Diketahui sin α = 5/13 , sin β= 7/25, dan  dan  merupakan sudut tumpul.

a. Tentukan sin (α + β)

b. Tentukan sin (α – β)

Pembahasan:

Kita gunakan rumus sinus

• Rumus sinus jumlah dua sudut :

sin (α + β) = sin α cos β  + cos α sin β

• Rumus sinus selisih dua sudut :

sin (α –  β) = sin α cos β  – cos α sin β

sin α = 5 / 13, maka cos α = -12 / 13 (kuadran II)

sin β = 7 / 25, maka cos β = -24 / 25 (kuadran II)

sin (α + β) = sin α cos β  + cos α sin β

sin (α + β) = (5 / 13) (-24 / 25) + (-12 / 13) (7 / 25)

sin (α + β) = (-120 / 325) + (-84 / 325)

sin (α + β) = -204 / 325

Jadi nilai dari sin (α + β) adalah -204 / 325.

sin (α –  β) = sin α cos β  – cos α sin β

sin (α –  β) = (5 / 13) (-24 / 25) – (-12 / 13) (7 / 25)

sin (α –  β) = (-120 / 325) – (-84 / 325)

sin (α –  β) = 36 / 325

Jadi nilai dari sin (α –  β) adalah 36 / 325.

3. Contoh Soal dan pembahasan jumlah dan selisih tangen

Diketahui sin α = 4/5 , sin β= 5/13 , dan α dan β merupakan sudut lancip.

1. Tentukan tan (α + β)
2. Tentukan tan (α – β)

Pembahasan:

Baca juga: Fungsi Trigonometri Serta Contoh Soalnya

Pemahaman Akhir

Materi jumlah dan selisih sudut pada trigonometri sangat penting karena membantu dalam menentukan nilai suatu sudut yang tidak termasuk dalam sudut istimewa. Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut, kita dapat dengan mudah menentukan nilai sinus, kosinus, dan tangen dari sudut-sudut tersebut.

Untuk menghitung jumlah atau selisih sudut dalam trigonometri, kita menggunakan rumus-rumus trigonometri khusus. Jumlah dari sinus, kosinus, dan tangen dua sudut dapat dihitung menggunakan rumus-rumus sinus (α ± β), kosinus (α ± β), dan tangen (α ± β). Selain itu, juga terdapat rumus untuk menghitung selisih dari sinus, kosinus, dan tangen dua sudut yaitu menggunakan rumus sinus (α – β), kosinus (α – β), dan tangen (α – β).

Dalam menyelesaikan contoh soal, kita menggunakan rumus-rumus tersebut dengan menggantikan nilai-nilai sinus dan kosinus dari sudut-sudut yang diberikan. Perlu diingat bahwa pengetahuan tentang sudut istimewa sangat membantu dalam mencari nilai-nilai trigonometri tersebut, sehingga tabel trigonometri untuk sudut-sudut istimewa menjadi penting untuk diingat.

Dengan memahami materi jumlah dan selisih sudut pada trigonometri, kita dapat mengaplikasikan rumus-rumus tersebut untuk menyelesaikan berbagai macam soal dan masalah yang melibatkan sudut-sudut tidak istimewa. Pengetahuan ini akan sangat bermanfaat dalam pembelajaran trigonometri dan mempermudah kita dalam menghitung nilai-nilai sudut pada berbagai situasi.

Demikianlah teman-teman materi mengenai jumlah dan selisih sudut sinus, cosinus dan tangen. Semoga teman-teman dapat memahami materinya dengan baik. Sampai ketemu di materi dan bab selanjutnya ya.

Daftar Pustaka

Kanginan, M., Hidayah, N.H, Akhmad. G. 2016. Matematika untuk siswa SMA/MA kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Yrama Widya.

Sinaga, Bornok dkk. 2014. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.