Turunan fungsi merupakan salah satu materi yang penting untuk dipelajari. Turunan fungsi ini merupakan syarat untuk belajar materi integral. Selain sebagai materi syarat turunan fungsi ini juga banyak penerapannya dalam kehidupan kita. Untuk itu mari kita pelajari lebih mendalam mengai materi turunan fungsi aljabar ini.
Daftar Isi
Pengertian Turunan
Turunan fungsi adalah suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan juga bisa disebut sebagai diferensial dan proses untuk menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. Menentukan gradien suatu garis singung menggunakan limit fungsi aljabar.
Baca juga: Barisan dan Deret Serta Contoh Soal
Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar
Suatu fungsi akan dapat diturunkan pada suatu titik jika memenuhi sifat-sifat berikut ini. Jika fungsi f : S → R, S ⊆ R dengan x ϵ S dan L ϵ R, maka fungsi f dapat diturunkan di titik x jika dan hanya jika turunan kiri sama dengan turunan kanan, ditulis,
Aturan Turunan :
Jika f , u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval I, a bilangan real dapat diturunkan maka:
Konsep Kemonotonan Fungsi
Sutau fungsi dikatakan monoton jika fungsi tersebut naik terus atau turun terus pada suatu selang atau interval. Jika fungsi f : S → R, S ⊆ R , maka
- Fungsi f dikatakan naik jika ⩝ x1 , x2 ϵ S, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
- Fungsi f dikatakan turun jika ⩝ x1 , x2 ϵ S, x1 < x2 → f(x1) > f(x2)
Jika f adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan pada setiap x ϵ I, maka
- Jika f ‘(x) > 0 maka fungsi selalu naik pada interval I.
- Jika f ‘(x) < 0 maka fungsi selalu turun pada interval I.
- Jika f ‘(x) ≥ 0 maka fungsi tidak pernah turun pada interval I.
- Jika f ‘(x) ≤ 0 maka fungsi tidak pernah naik pada interval I.
(Manullang dkk., 2017)
Nilai Maksimum dan Minimum
Nilai suatu fungsi dapat dikategorikan maksimum jika nilai suatu fungsi tersebut memiliki nilai paling besar, sementara nilai suatu fungsi dikategorikan minimum jika memiliki nilai yang paling kecil pada selang atau interval tertentu. Jika f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua pada x1 ϵ I sehingga:
- Jika f ‘(x1) = 0 maka titik (x1 , f(x1)) disebut stasioner/kritis
- Jika f ‘(x1) = 0 dan f “(x1) > 0 maka titik (x1 , f(x1)) disebut titik minimum fungsi
- Jika f ‘(x1) = 0 dan f “(x1) < 0 maka titik (x1 , f(x1)) disebut titik maksimum fungsi
- Jika f “(x1) = 0 maka titik (x1 , f(x1)) disebut titik belok.
(Manullang dkk., 2017)
Nilai Maksimum dan Minimum pada Interval
Daerah asal (domain) fungsi pada (B, C dan D) telah dibatasi sehingga keoptimalan fungsi harus dianalisis apakah berada pada daerah tersebut. Dengan demikian, gambar A adalah posisi titik maksimum / minimum lokal sebuah fungsi dan ketiga gambar lainnya adalah posisi titik maksimum atau minimum global / lokal sebuah fungsi pada daerah tertutup. Nilai maksimum dan minimum fungsi tidak hanya bergantung pada titik stasioner fungsi tersebut tetapi bergantung juga pada daerah asal fungsi.
Konsep turunan yang berkaitan dengan fungsi naik atau turun, nilai optimal maksimum atau minimum serta titik belok berhubungan dengan kecepatan dan percepatan suatu fungsi.
Kecepatan adalah laju perubahan dari fungsi s = f(t) terhadap perubahan waktu t, yaitu:
Penerapan Turunan Fungsi Aljabar pada Kehidupan
Beberapa penerapan turunan fungsi aljabar pada kehidupan adalah sebagai berikut ini :
- Menghitung gradien garis singgung suatu kurva misalnya pada pergerakan pesawat terbang saat aan terbang atau mendarat.
- Menetukan interval ketika fungsi naik atau turun, misalnya pada penentuan kapasitas produksi suatu pabrik bergantung dari fungsi kebutuhan produk masyarakat.
- Menentukan nilai stasioner misalnya penentuan ketinggian ketika melompat dari trampolin sehingga dapat ditentukan tinggi jaring pengaman yang akan dibuat.
- Menyelesaikan persamaan gerak misalnya penentuan ketinggian atau jarak tempuh benda yang bergerak seperti bola atau pergerakanan permaian roller coaster.
- Menentukan penentuan nilai maksimum – minimum misalnya pada perhitungan luas dan volume ruang.
Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Aljabar
Untuk lebih memahami turunan fungsi aljabar, mari kita lihat contoh soal dan pembahasan turuna fungsi alajabar berikut ini.
- Tunjukkan grafk fungsi f(x) = x2 + 5, x ϵ R dan x > 0 adalah fungsi naik.
Pembahasan:
f(x) = x2 + 5, x ϵ R dan x > 0
Ambil sebarang x1 , x2 ϵ R dengan 0 < x1 < x2
x = x1 → f(x1) = x12 + 5
x = x2 → f(x2) = x22 + 5
Karena 0 < x1 < x2 maka x12 + 5 < x2 2 + 5
Karena x12 + 5 < x2 2 + 5, maka f(x1) < f(x2)
Jadi ⩝x ϵ S, x1 < x2 à f(x1) < f(x2) dapat disimpulkan bahwa f adalah fungsi naik.
2. Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f(x) = 0,75x4 + x3 – 3x2
Pembahasan:
f(x) = 0,75x4 + x3 – 3x2
(Rubah dahulu koefisien x4 dari bilangan desimal ke pecahan)
f(x) = 3/4x4 + x3 – 3x2
Pembuat nol dari f ‘(x) :
f ‘(x) = 3x3 + 3x2 – 6x
3x3 + 3x2 – 6x = 0
3x (x2 + x -2) = 0
3x (x + 2) (x – 1) = 0
x = 0 atau x = -2 atau x = 1
Dengan menggunakan interval.
Jadi, kurva fungsi tersebut akan naik pada interval –2 < x < 0, atau x > 1 tetapi turun pada interval x < –2 atau 0 < x < 1.
3. Dengan menggunakan konsep turunan, analisis kurva fungsi f(x) = x2 – 6x !
Pembahasan:
a. Menentukan titik stasioner (f ‘(x) = 0)
f ‘(x) = 2x – 6 = 0 atau x = 3
Titik stasioner P (3, –9)
b. Menentukan interval fungsi naik/turun
Fungsi naik pada (f ‘(x) > 0)
f ‘(x) = 2x – 6 > 0 atau x > 3
Fungsi turun pada (f ‘(x) < 0)
f ‘(x) = 2x – 6 < 0 atau x < 3
c. Menentukan titik belok (f “(x) = 0)
f “(x) = 2 ≠ 0
Tidak ada titik belok
d. Menentukan titik optimum
Uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi
f “(x) = 2 > 0 disebut titik minimum di P (3, –9).
Jadi dengan menggunakan konsep turunan, hasil analisis kurva fungsi f(x) = x2 – 6x adalah titik stasioner di P (3, –9), fungsi naik di x > 3, fungsi turun x < 3, tidak ada titik belok, dan titik minimum di P (3, –9).
Baca juga: Limit Fungsi: Konsep, Nilai dan Contoh Soal
Pemahaman Akhir
Materi turunan fungsi merupakan hal penting yang perlu dipelajari karena memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari dan menjadi syarat untuk memahami materi integral. Turunan fungsi adalah perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi akibat perubahan nilai input (variabel) dan digunakan untuk menghitung gradien garis singgung suatu kurva.
Dalam mempelajari turunan fungsi aljabar, kita dapat menerapkan aturan turunan untuk fungsi-fungsi bernilai real. Aturan turunan membantu kita dalam menghitung turunan dari kombinasi fungsi-fungsi seperti penjumlahan, perkalian, dan fungsi komposisi.
Konsep kemonotonan fungsi membantu kita untuk mengetahui apakah suatu fungsi naik atau turun pada suatu selang atau interval. Hal ini berguna dalam menentukan kecepatan dan percepatan suatu fungsi dalam berbagai konteks kehidupan.
Penerapan turunan fungsi aljabar sangat luas dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa contohnya termasuk menghitung gradien garis singgung dalam pergerakan pesawat terbang, menentukan kapasitas produksi suatu pabrik, menghitung ketinggian melompat dari trampolin, menentukan jarak tempuh benda yang bergerak, serta menghitung luas dan volume ruang.
Selain itu, turunan fungsi juga membantu kita dalam menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Titik stasioner, turunan pertama, dan turunan kedua digunakan untuk mengidentifikasi titik maksimum atau minimum fungsi.
Mempelajari turunan fungsi aljabar membantu kita dalam memahami fenomena dan peristiwa dalam dunia nyata dengan lebih mendalam. Penerapan konsep turunan dapat membantu kita dalam memecahkan masalah dan mengambil keputusan yang lebih tepat dalam berbagai bidang kehidupan. Oleh karena itu, memahami turunan fungsi aljabar merupakan langkah awal yang penting dalam memahami dunia matematika dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.
Itulah tadi penjelesan mengenai materi turunan fungsi aljabar, semoga teman-teman dapat belajar dan juga dapat memahami materinya. Tetap semanagat untuk belajar dan kejar cita-cita kita. Good luck!
Daftar Pustaka
Manullang, Sudianto dkk. 2017. Matematika Kelas XI. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.
