Vektor: Pengertian, Panjang, Operasi Vektor

Vektor adalah satu materi yang dapat menunggang pembelajaran materi lainnya seperti geometri, bangun ruang, dimensi tiga. Aplikasi Vektor banyak dalam kehidupan kita, seperti penunjuk arah di Maps serta denah suatu tempat atau pentunjuk arah jalan.

Pengertian Vektor

Vektor adalah segmen garis yang memiliki nilai dan mempunyai arah, penggunaan tanda (–) negatif pada nilai vektor akan berpengaruh pada arah vektor. Contohnya, vektor yang dinyatakan dengan nilai positif ke arah kanan. Begitu pun sebaliknya, vektor dengan arah ke kiri akan mempunyai nilai (–) negatif. Simbol vektor biasanya berupa ruas garis dengan anak panah pada salah satu ujungnya seperti gambar berikut ini :

Panjang garis menunjukkan panjang vektor tersebut dari titik pangkal P ke titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor PQ. Panjang vektor PQ ini dilambangkan dengan |PQ|. Selain itu, sebuah vektor dapat ditulis :

• Huruf kecil yang dicetak tebal. Seperti a, b, c dan sebagainya.
• Huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah. Seperti pada gambar di atas.

Baca juga: Sistem Persamaan Linear

Contoh

Gambarkanlah vektor b dari titik pangkal Y ke titik ujung Z yang bernilai negaif !

Penyelesaian:

Gambar di atas adalah vektor b dari titik pangkal Y ke titik ujung Z yang bernilai negaif. yang membedakan nilai positif dan negatif adalah arah vektornya.

Panjang Vektor

Agar lebih jelas berikut adalah gambar dari vektor a, b, dan c pada koordinat Cartesius :

Contoh soal

Tentukanlah panjang vektor berikut ini !

1. c (3, 4)
2. d (5, 7)
3. e (7, 9)
4. f (3, 4, 5)
5. g (4, 5, 7)
6. h (5, 7, 9)

Penyelesaian:

Sudut antar Vektor dalam Ruang Berdimensi Dua

Vektor dalam ruang berdimensi dua adalah vektor dengan komponen dua dimensi yaitu x, dan y. Misalkan terdapat dua vektor dua dimensi, yaitu :

Jika θ adalah besar sudut antara vektor a dan vektor b, maka kosinus sudut kedua vektor tersebut dinyatakan dengan rumus :

Contoh soal

Sudut antar Vektor dalam Ruang Berdimensi tiga

Vektor dalam ruang berdimensi tiga adalah vektor dengan komponen tiga dimensi yaitu x, y, dan z. misalkan terdapat dua vektor tiga dimensi, yaitu :

Contoh soal :

Skalar dan Vektor

Besaran dibagi menjadi dua jenis, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai yang mutlak, seperti panjang, luas, volume, massa, dan waktu. Besaran skalar tidak memiliki arah negatif, semua bernilai positif.

Sementara, besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai yang mutlak dan arah tertentu, seperti gaya, kecepatan, dan percepatan. Gaya yang bernilai negatif adalah gaya gesek karena melawan gaya yang bekerja pada suatu benda, percepatan yang bernilai negatif adalah perlambatan seperti kereta yang direm untuk berhenti.

Berikut tabel klasifikasi antara skalar dan vektor !

Tabel di atas merupakan tabel klasifikasi antara besaran skalar dan besaran vektor.

Operasi Aljabar Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Perhatikanlah gambar vektor a, b, dan c pada koordinat Cartesius berikut ini !

Untuk a dan b vektor-vektor pada dua dimensi, berlaku :

Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor u = (u₁, u₂ , …, u_n), maka ku = (ku₁, ku₂, …, ku_n).

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

Sifat-sifat Operasi Hitung pada Vektor

Jika a, b, dan c merupakan vektor-vektor, kemudian k dan l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut :

Perkalian antara Dua Vektor

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama, yaitu ruang yang menghasilkan skalar. Jika v dan w vektor pada ruang/dimensi yang sama, θ sudut diantara v dan w, maka hasil kali titik antara dua vektor :

Beberapa sifat perkalian titik adalah:

a · b = b · a

a · (b + c ) = (a · b )+ (a · c )

k(a · b ) = ka · b = a · kb, dimana k ∈ R

Proyeksi Ortogonal

Vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang tegak lurus, v · w = 0 dimana harus ada referensi suatu vektor lain, misal a. Menguraikan u menjadi 2 bagian yaitu sejajar dengan suatu vektor a dan tegak lurus terhadap vektor a.

Hasil Kali Silang (cross product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua vektor pada ruang tiga dimensi yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

Cara menghitung :

Contoh soal

Jika vektor c = (8, 9) dan d = (7, 3), tentukanlah operasi vektor berikut:

c + d                     

c – d

Penyelesaian:

c + d = (8, 9) + (7, 3) = (15, 12)

c – d = (8, 9) – (7, 3) = (1, 4)

Jadi operasi vektor c + d dan c – d berturut-turut adalah (15, 12) dan (1, 4).

Baca juga: Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Sifat Kesimetrisan dan Sifat Sifat Sudut pada Segitiga

Segitiga merupakan bangun datar yang dibatasi oleh tiga sisi dan mempunyai tiga titik sudut. Sudut dalam adalah sudut yang berada di dalam suatu bangun, jumlah sudut dalam segitiga adalah 180^º. Ditinjau dari sudut-sudutnya, segitiga dibedakan menjadi tiga yaitu: segitiga lancip yang memiliki besar sudut antara 0^º sampai dengan 90^º. Segitiga tumpul yang memiliki besar sudutnya antara 90^º dan 180^º. Segitiga siku-siku yang memiliki besar sudutnya 90^º.

Contoh soal :

Gambarlah segitiga siku-siku dan segitiga tumpul !

Gambar di atas secara berurutan adalah segitiga siku-siku dan segitiga tumpul.

Sifat Kesimetrisan dan Sifat Sifat Sudut pada Segi Empat dan Lingkaran

Sifat Kesimetrisan dan Sifat Sudut pada Segiempat

Segiempat adalah bangun datar yang memiliki empat sisi, empat sudut dan dua diagonal. Bangun segiempat memiliki unsur antara lain sisi, sudut dan diagonal. Besar sudut dalam pada persegi dan persegi panjang masing-masing sudut adalah 90º, sehingga ketika dijumlah besar sudut dalamnya 4 × 90º = 360º. Sementara jumlah sudut pada bangun trapesium, jajar genjang, belah ketupat, dan layang-layang adalah 360º.

Sifat Kesimetrisan dan Sifat Sudut pada Lingkaran

Lingkaran adalah kumpulan semua titik di dalam suatu bidang yang berjarak sama dari titik pusat. Sifat lingkaran yaitu jarak dari titik pusat ke tepi disebut jari-jari (r) sama panjang. Lingkaran mempunyai sebuah titik pusat dan lingkaran mempunyai jari-jari yang panjangnya setengah dari diameter (d).

Contoh soal

Gambarlah segiempat dan lingkaran lengkap dengan diagonal atau jari-jari dan tunjukkan panjang sisi yang sama!

Gambar di atas adalah gambar segiempat berurutan yaitu persegi panjang, persegi, trapesium, jajar genjang, belah ketupat, dan layang-layang. Setiap segi empat memiliki dua diagonal, empat sudut dan empat sisi.

Gambar di atas adalah gambar lingkaran di mana diameter adalah dua kali jari-jarinya.

Dalil Titik Tengah dan Dalil Intersept pada Segitiga

Dalil titik tengah segitiga

Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga pasti sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengah dari panjang sisi ketiga.

Jadi, pada segitiga ABC tersebut, titik D merupakan titik tengah dari sisi AC dan titik E merupakan titik tengah dari sisi BC. Ruas garis DE sejajar dengan garis AB, dan panjang garis DE setengah dari panjang garis AB.

Dalil Intersept

Jika ada dua atau lebih garis sejajar yang dipotong oleh dua garis yang berpotongan, maka perbandingan dari ruas garis berpotongan pertama adalah sama dengan perbandingan dari ruas garis dari garis perpotongan kedua.

Jadi pada segitiga ABC tersebut, garis DE yang sejajar dengan garis AB dipotong oleh dua garis yang berpotongan yakni CA dan CB, maka berlaku: CD/DA = CE/EB

Contoh soal

Tentukanlah panjang CB pada segitiga siku-siku ABC?

Dalil Segmen Garis

Konsep Dasar Garis

Garis AB merupakan himpunan tak berbatas dari titik-titik yang membentang pada kedua arah, dan satu baris segmen garis AB merupakan bagian dari garis AB yang memiliki panjang terbatas (titik A dan B sebagai batas).

Dalil 1 :

Sebuah segmen garis dapat diperpanjang di kedua arah titik D terletak pada perpanjangan segmen garis AB.

Dalil 2 :

Melalui dua titik yang diberikan, hanya dapat dibuat satu garis diberikan titik A dan B, hanya satu garis yang dapat dibuat melalui kedua titik tersebut.

Dalil 3 :

Dua garis tidak berpotongan pada lebih dari satu titik. Pada gambar di atas AEB dan CED berpotongan di titik E dan tidak berpotongan di titik lain.

Dalil 4 :

Jika terdapat sebuah titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis tegak lurus melalui garis tersebut.

Dalil 5 :

Jarak terpendek antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu Jarak titik A ke titik B adalah panjang segmen garis AB.

Dalil 6 :

Segmen garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah. P adalah titik tengah segmen AB, dan tidak ada titik tengah yang lain pada segmen garis tersebut.

Contoh soal :

Tentukanlah panjang EF, jika diketahui pajang AC adalah 12 cm, D, E, dan F adalah titik tengah dari sisi-sisi segitiga ABC yaitu garis AC, CB, dan AB.

Penyelesaian:

EF = AD = AC/2 = 12/2 = 6 cm

Jadi  panjang EF pada segitiga ABC adalah 6 cm.

Baca juga: Yuk Pelajari Materi Trigonometri

Pemahaman Akhir

Vektor adalah suatu materi yang dapat digunakan dalam pembelajaran berbagai materi matematika seperti geometri, bangun ruang, dan dimensi tiga. Aplikasi vektor juga banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, seperti penunjuk arah di peta, denah suatu tempat, atau petunjuk arah jalan.

Vektor merupakan segmen garis dengan nilai dan arah tertentu. Panjang vektor ditunjukkan oleh panjang garis, dan arah vektor dapat ditentukan oleh tanda positif atau negatif pada nilainya. Vektor dapat dituliskan dengan menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal dan diberi anak panah pada salah satu ujungnya.

Dalam penggunaan vektor, terdapat operasi aljabar vektor seperti penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian skalar dengan vektor, serta hasil kali titik dan hasil kali silang antara vektor. Terdapat pula sifat-sifat operasi hitung pada vektor seperti sifat kesimetrisan, perkalian skalar, dan perkalian antara dua vektor.

Selain itu, vektor juga dapat digunakan dalam pengukuran sudut antara vektor-vektor. Sudut antar vektor dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi dapat dihitung menggunakan rumus trigonometri. Vektor juga memiliki peran dalam dalil-dalil geometri seperti dalil titik tengah, dalil intersept, dan dalil segmen garis.

Dengan pemahaman tentang vektor dan aplikasinya, kita dapat menerapkannya dalam pemecahan masalah matematika dan memahami konsep-konsep geometri dan dimensi ruang secara lebih baik.

Demikianlah penjelasan materi vektor secara lengkap, semoga dapat membantu teman-teman dalam belajar. Tetap semangat dan terus berjuang untuk meraih cita-citamu.

Daftar Pustaka

E. S., Pesta, dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika Aplikasi. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.

Sukino. 2014. Matematika Untuk Kelas X kelompok peninatan. Jakarta: Erlangga.

Kanginan, M., Hidayah, N.H, Akhmad. G. 2016. Matematika untuk siswa SMA/MA kelas X Kelompok Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Yrama Widya.