Yuk Bahasa Secara Mendalam Tentang Trigonometri

Halo teman-teman semua! Mari kita lanjut pembelajaran kita, ya. Kali ini kita akan belajar memahami trigonometri. Nah,  trigonometri ini sangat banyak diterapkan dalam kehidupan kita.

Contohnya saja ketika kita ingin membuat lemari, kursi, meja tentu sangat perlu menggunakan sudut-sudut dalam trigonometri. Jika kita salah menggunakan sudutnya maka lemari akan miring dan tidak sesuai dengan yang diharapkan. Begitulah pentingnya belajar trigonometri ini. Nah, untuk itu mari kita belajar memahami trigonometri secara keseluruhan di sini.

Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

Suatu sudut diukur dengan satuan derajat atau radian, dan dapat didefinisikan sebagai berikut ini :

Dalam kajian geometris, sudut merupakan hasil rotasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Selain itu, arah putaran memiliki makna dalam sudut dimana sudut bertanda “positif” jika arah putarannya berlawanan dengan arah putaran jarum jam, dan bertanda “negatif” jika arah putarannya searah dengan arah putaran jarum jam. (Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal :

Nyatakan dalam derajat dan radian besar sudut terkecil yang dibentuk untuk setiap penunjukan waktu berikut :

a. 12.10

b. 02.15

c. 16.05

d. 05.45

e. 18.20

Penyelesaian:

Baca juga: Materi Logaritma

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Hubungan perbandingan sudut (lancip) dengan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dinyatakan dalam definisi berikut:

Ingat !

Panjang sisi miring adalah sisi terpanjang pada suatu segitiga siku-siku. Akibatnya nilai sinus dan cosinus kurang dari 1 (Pada kondisi khusus akan bernilai 1).

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal

Jika suatu segitiga siku-siku ABC memiliki panjang sisi a = 6 cm, b = 8 cm, dan c adalah sisi miring dari segitiga tersebut. Tentukan nilai sin A, cos A, tan A, csc A, sec A, cot A!

c² = a² + b²

c² = 6² + 8²

c² = 36+ 64

c² = 100

c = 10

csc A = 1/sin A = 5/3

sec A = 1/cos A = 5/4

cot A = 1/tan A = 4/3

Jadi nilai sin A, cos A, tan A, csc A, sec A, cot A secara berurutan adalah 3/5, 4/5, ¾, 5/3, 5/4, dan 4/3.

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa yaitu 0˚, 30˚, 45˚, 60˚, dan 90˚ memiliki nilai perbandingan trigonometri sebagai berikut :

Contoh soal

Hitunglah nilai dari setiap pernyataan trigonometri berikut :

Baca juga: Pelajari juga yuk materi Eksponensial

Relasi Sudut

Hubungan nilai perbandingan trigonometri antar dua sudut adalah sebagai berikut :

Jika 0˚ ≤ a ≤ 90˚, maka berlaku

sin (90˚- a) = cos a

cos (90˚- a) = sin a

tan (90˚- a) = cot a

csc (90˚- a) = sec a

sec (90˚- a) = csc a

cot (90˚- a) = tan

Relasi sudut 30º di berbagai kuadran

Relasi sudut 45º di berbagai kuadran

Relasi sudut 60º di berbagai kuadran

Berikut adalah tabel nilai relasi sudut

Rumus relasi sudut

Contoh soal

Jessika melihat monas dengan sudut kemiringan 30˚ dan tinggi monas adalah 132 meter. Berapakah jarak Jessika ke dasar monas?

s = jarak Jesika ke dasar monas = sisi disamping segitiga

Identitas Trigonometri

Diketahui suatu segitiga ABC, siku-siku di B. Misalkan ∠A = a rad, ∠B = rad, AB = c, dan AC = b. Untuk setiap sudut α, berlaku bahwa :

sin²α + cos²α = 1 ßà sin²α = 1- cos²α  atau cos²α = 1 – sin²α

1 + cot²α = csc²α ßà cot²α = csc²α – 1 atau csc²α – cot²α = 1

tan²α + 1 = sec²α ßà tan²α = sec²α – 1 atau sec²α – tan²α = 1

(Sinaga dkk., 2017).

Contoh soal

Jika α = 45˚, tentukan nilai dari sec²α – cos²α – tan²α – sin²α !

Penyelesaian:

sec²α – cos²α – tan²α – sin²α = (sec²α – tan²α) – (sin²α+ cos²α) = 1 – 1 = 0

Jadi nilai dari sec²α – cos²α – tan²α – sin²α untuk α = 45˚ adalah 0

Aturan Sinus dan Cosinus

Untuk segitiga sembarang terdapat  garis tinggi dan garis berat. Garis tinggi adalah garis yang dibentuk dari suatu sudut dan berpotongan tegak lurus dengan sisi di hadapannya. Garis berat adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan memotong sisi di hadapannya menjadi dua bagian yang sama panjang. Pada setiap segitiga, dengan BC = a, AC = b, AB = c, dengan sudut-sudutnya ㄥA, ㄥB, dan ㄥC   berlaku :

Contoh soal

Tentukan nilai cosㄥA dengan panjang sisi a adalah 5 cm, panjang sisi segitiga lain adalah 6 cm dan 8 cm !

Penyelesaian:

Grafik Fungsi Trigonometri

Fungsi f(x) harus terdefinisi pada daerah asalnya. Jika y = f(x) = sin x, maka daerah asalnya adalah semua x bilangan real.

Berikut adalah cara membuat Grafik Fungsi y = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Tentukan titik-titik yang dilalui oleh y = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π dan sambungkan titik-titik tersebut.

Grafik fungsi y = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π, seperti pada Gambar berikut ini.

Dari grafik didapatkan beberapa data dan informasi seperti berikut.

• Untuk semua ukuran sudut x, nilai maksimum fungsi y = sin x adalah 1, dan nilai minimumnya adalah –1.
• Kurva fungsi y = sin x, berupa gelombang.
• Untuk 1 periode (1 putaran penuh) kurva fungsi y = sin x, memiliki 1 gunung dan 1 lembah.
• Nilai fungsi sinus berulang saat berada pada lembah atau gunung yangsama.
• Untuk semua ukuran sudut x, daerah hasil fungsi y = sin x, adalah –1 ≤ y ≤ 1.

Langkah-langkah menggambar Grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Tentukan titik-titik yang dilalui oleh y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π dan sambungkan titik-titik tersebut.

Grafik fungsi y = tan x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, seperti pada Gambar berikut ini.

Dari grafik fungsi trigonmetri y = tan x dapat dilihat jika x semakin mendekati π/2 (dari kiri), nilai fungsi semakin besar, tetapi tidak dapat ditentukan nilai terbesarnya. Sebaliknya, jika x atau mendekati π/2 (dari kanan), maka nilai fungsi semakin kecil, tetapi tidak dapat ditentukan nilai terkecilnya. Kondisi ini berulang pada saat x mendekati 3π/2. Artinya, fungsi y = tan x, tidak memiliki nilai maksimum dan minimum.

Contoh soal

Buatlah grafik fungsi  y = cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π

Penyelesaian:

Pertama tentutukan titik-titik yang dilalui oleh y = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Kedua sambungkan titik-titik tersebut.

Grafik fungsi y = cos x, untuk 0 ≤ x ≤ 2π, seperti pada Gambar berikut ini :

Baca juga: Yuk Pelajari juga Materi Tentang Fungsi Linier

Pemahaman Akhir

Trigonometri merupakan cabang matematika yang sangat penting dan banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya, dalam pembuatan meja, kursi, atau lemari, penggunaan sudut-sudut dalam trigonometri sangat diperlukan. Pemahaman trigonometri yang baik akan memastikan bahwa konstruksi tersebut sesuai dengan yang diharapkan.

Dalam trigonometri, sudut dapat diukur dalam derajat atau radian. Sudut juga memiliki hubungan dengan perbandingan panjang sisi dalam segitiga siku-siku. Perbandingan tersebut melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen. Sudut-sudut istimewa seperti 30°, 45°, dan 60° memiliki nilai perbandingan trigonometri yang khusus.

Selain itu, terdapat juga identitas trigonometri yang berguna dalam melakukan manipulasi dan perhitungan trigonometri. Aturan sinus dan kosinus digunakan untuk segitiga sembarang, sedangkan identitas trigonometri lainnya memperlihatkan hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri dalam suatu sudut.

Grafik fungsi trigonometri juga memberikan informasi tentang sifat-sifat fungsi trigonometri. Dalam grafik tersebut, kita dapat melihat nilai maksimum dan minimum, serta pola perulangan dari fungsi trigonometri. Grafik tersebut membantu kita memvisualisasikan sifat-sifat trigonometri dan membuat perhitungan yang lebih mudah.

Dengan memahami trigonometri secara keseluruhan, kita dapat mengaplikasikan konsep-konsep trigonometri dalam berbagai situasi kehidupan sehari-hari dan dalam bidang-bidang lain seperti fisika, arsitektur, dan rekayasa.

Demikianlah materi trigonometri lengkap mulai dari ukuran sudut hingga menggambar grafik trigonometri. Semoga materi ini dapat bermanfaat bagi teman-teman semua.

Daftar Pustaka

Sinaga, Bornok dkk. 2017. Matematika. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaaan.