Relasi dan Fungsi: Contoh Soal dan Pembahasan

Materi relasi dan fungsi merupakan materi yang asik untuk dipelajari. Karena pada materi ini kita akan belajar dengan pasangan sesuatu bisa bilangan dengan bilangan, bisa juga hewan dan makanannya, dan masih banyak lagi.

Realasi dan fungsi ini ditemukan oleh sorang pakar yaitu Galileo (1564 – 1642). Beliau adalah orang yang mengangkat konsep tentang pemetaan antar himpunan yang selanjutnya dikembangkan sebagai relasi dan fungsi.

Adapun tiga materi relasi dan fungsi yang akan disajikan yaitu materi relasi dan fungsi bentuk penyajian relasi, materi relasi dan fungsi bentuk penyajian fungsi dan materi relasi dan fungsi posisi korespodensi satu-satu.

Bentuk Penyajian Relasi

Terdapat tiga cara penyajian relasi yang umum digunakan dalam matematika yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Berikut adalah data pelajaran yang disukai oleh lima sekawan:

Dimana himpunan A = {Abdul, Budi, Candra, Dini, Elok}, himpunan B = {Matematika, IPA, IPS, Kesenian, Bahasa Inggris, Olahraga, Keterampilan} dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi antara himpunan A ke himpunan B. Berikut adalah ketiga cara penyajian relasi tersebut:

Baca juga: Pola bilangan: Materi, Contoh Soal Serta Pembahasan

Diagram Panah

Diagram panah menunjukan relasi “pelajaran yang disukai” antara anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota tertentu himpunan B dengan arah panah.

Diagram Kartesius

Diagram kartesius menunjukan relasi “pelajaran yang disukai” antara anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota tertentu himpunan B dengan titik atau noktah. Dimana anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu datar dan anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak.

Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah {(Abdul, Matematika), (Abdul, IPA), (Budi, IPA), (Budi, IPS), (Budi, Kesenian), (Chandar, Keterampilan), (Candra, Olahraga), (Dini, Bahasa Inggris), (Dini, Kesenian), (Elok, Matematika), (Elok, IPA), (Elok, Keterampilan)}.

Ketiga cara penyajian relasi tersebut adalah cara yang umum pada matematika dalam penyajian relasi.

Bentuk Penyajian Fungsi

Fungsi adalah pemetaan setiap anggota himpunan suatu domain (daerah asal atau variabel bebas) ke anggota-anggota himpunan kodomain (daerah kawan atau variabel terikat). Himpunan bagian dari himpunan kodomain yang semua anggotanya dipasangkan pada anggota himpunan domain adalah daerah hasil (range).

Fungsi memiliki syarat bahwa setiap anggota domain harus dihubungkan dengan anggota himpunan kodomain, sehingga fungsi melakukan pemetaan lebih spesifik dari relasi. Jadi suatu fungsi pasti adalalah relasi, sementara suatu relasi belum tentu adalah sebuah fungsi. Untuk lebih memahami mengenai fungsi perhatikan contoh berikut ini.

Anggota himpunan domain A adalah = {A, B, C}

Anggota himpunan kodomai B adalah = {1, 2}

Terdapat lima cara penyajian fungsi yang umum digunakan dalam matematika yaitu himpunan pasangan berurutan, diagram panah, persamaan fungsi, tabel, dan grafik. Contohnya suatu fungs f dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. “setengah kali dari” adalah relasi antara himpunan A ke himpunan B. Berikut adalah kelima cara penyajian relasi tersebut:

Himpunan Pasangan Berurutan

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut ini:

f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

Diagram Panah

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan diagram panah sebagai berikut ini:

Persamaan Fungsi

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan persamaan fungsi sebagai berikut ini:

(1, 2)   à (1, 2 × 1)

(2, 4)   à (2, 2 × 2)

(3, 6)   à (2, 2 × 3)

(4, 8)   à (4, 2 × 4)

(5, 10) à (5, 2 × 5)

Jika anggota P adalah x dan anggota Q adalah y, maka x = ½ y. x = ½ y à y = 2x atau dapat dituliskan f (x) = 2x, untuk setiap x ∈ P.

Tabel

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan tabel sebagai berikut ini :

Grafik

Fungsi dari P = {1, 2, 3, 4, 5} ke Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dengan realasi “setengah kali dari” dapat dinyatakan dengan grafik sebagai berikut ini:

Posisi Korespodensi Satu-satu

Koresponden satu-satu atau perkawanan satu-satu adalah relasi tepat satu anggota dari himpunan domain (daerah asal atau variabel bebas) ke satu anggota himpunan kodomain (daerah kawan atau variabel terikat). Relasi antara himpunan A = {1, 2. 3} dan himpunan B = {a, b, c} dapat dijabarkan seperti berikut ini:

Dari tabel tersebut terdapat korespondensi satu-satu yang mungkin sebanyak 6 yaitu pertama {(1, a), (2, b), (3, c)}, kedua {(1, a), (2, c), (3, b)}, ketiga {(1, b), (2, a), (3, c)}, keempat {(1, c), (2, b), (3, a)}, kelima {(1, c), (2, a), (3, b)}, dan keenam {(1, b), (2, c), (3, a)}. Banyaknya korespondensi satu-satu tergantung dari jumlah anggota himpunan domain dan himpunan kodomain.

Contoh Soal Relasi dan Fungsi

Untuk lebih memahami materi relasi dan fungsi, mari kita pelajari contoh soal dan pembahasan mengenai relasi dan fungsi berikut ini.

1. Berikut adalah makanan yang disukai oleh lima bersaudara:

Buatlah himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B !

Pembahasan:

Dimana himpunan A = {Anggita, Bambang, Caca, Dina, Ema}, himpunan B = {Bakso, Mie Ayam, Somay, Gado-gado, Karedok, Ketoprak, Bakpau, Pangsit} dan “makanan yang disukai” adalah relasi antara himpunan A ke himpunan

B. Himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah {(Anggita, Bakso), (Anggita, Mie Ayam), (Bambang, Gado-gado), (Bambang, Karedok), (Bambang, Ketoprak), (Caca, Somay), (Caca, Gado-gado), (Caca, Bakpau), (Dina, Karedok), (Dina, Ketoprak), (Dina, Bakpau), (Dina, Pangsit), (Ema, Bakso), (Ema, Mie Ayam), (Ema, Somay), (Ema, Pangsit)}.

Jadi himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B adalah

\{(Anggita, Bakso), (Anggita, Mie Ayam), (Bambang, Gado-gado), (Bambang, Karedok), (Bambang, Ketoprak), (Caca, Somay), (Caca, Gado-gado), (Caca, Bakpau), (Dina, Karedok), (Dina, Ketoprak), (Dina, Bakpau), (Dina, Pangsit), (Ema, Bakso), (Ema, Mie Ayam), (Ema, Somay), (Ema, Pangsit)}.

2. Diketahui himpunan P = {1, 2, 3, 4, 5} dan himpunan Q = {0, 1, 2, 3, 4}. Tentukanlah persamaan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q, jika tepat setiap satu anggota P berelasi dengan satu anggota himpunan Q secara berurutan !

Pembahasan:

Persamaan fungsi dapat ditentukan seperti berikut ini:

(1, 0) → (1, 1 – 1)

(2, 1) → (2, 2 – 1)

(3, 2) → (2, 3 – 1)

(4, 3) → (4, 4 – 1)

(5, 4) → (5, 5 – 1)

Jika anggota P adalah x dan anggota Q adalah y, maka x = y – 1. x =  y – 1 à y = x + 1 atau dapat dituliskan f (x) = x + 1, untuk setiap x ∈ P.

Jadi persamaman fungsi untuk dari himpunan P ke himpunan Q adalah f (x) = x + 1.

3. Tentukanlah relasi “siswa atau siswi dengan nomor induk” antara himpunan domain A ke himpunan kodomain B merupakan korespensi satu-satau atau tidak beserta alasannya !

Pembahasan:

Himpunan A = {Tohir, Taufiq, Erik, Zainul}

Himpunan B = {101, 102, 103, 104}

Relasi dari himpunan A ke himpunan B = {(Tohir, 101), (Taufiq, 102), (Erik, 103), (Zainul, 104)}. Terlihat bahwa tepat satu anggota himpunan A berelasi ke satu anggota himpunan B.

Jadi relasi “siswa atau siswi dengan nomor induk” antara himpunan domain A ke himpunan kodomain B merupakan korespensi satu-satau karena tepat satu anggota himpunan A berelasi ke satu anggota himpunan B.

Baca juga: Koordinat Kartesius: Contoh Soal Serta Pembahasan

Pemahaman Akhir

Materi relasi dan fungsi merupakan materi yang asik untuk dipelajari karena memungkinkan kita untuk mempelajari hubungan antara dua himpunan yang berbeda. Pada materi ini, kita dapat belajar tentang berbagai bentuk penyajian relasi dan fungsi.

Dalam penyajian relasi, terdapat tiga cara yang umum digunakan, yaitu diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Ketiga cara ini memungkinkan kita untuk memvisualisasikan hubungan antara anggota-anggota himpunan dengan cara yang berbeda.

Dalam penyajian fungsi, terdapat lima cara yang umum digunakan, yaitu himpunan pasangan berurutan, diagram panah, persamaan fungsi, tabel, dan grafik. Setiap cara penyajian ini memberikan gambaran yang berbeda tentang hubungan antara himpunan domain dan kodomain.

Relasi dan fungsi dikembangkan oleh pakar matematika Galileo Galilei pada abad ke-17. Beliau memperkenalkan konsep pemetaan antar himpunan yang kemudian berkembang menjadi konsep relasi dan fungsi.

Dalam materi relasi dan fungsi, kita juga mempelajari tentang posisi korespondensi satu-satu, di mana satu anggota himpunan domain berhubungan dengan satu anggota himpunan kodomain. Jumlah korespondensi satu-satu tergantung pada jumlah anggota himpunan domain dan kodomain.

Melalui contoh soal yang diberikan, kita dapat melihat bagaimana relasi dan fungsi dapat diterapkan dalam situasi nyata. Contoh soal tersebut memberikan pemahaman tentang bagaimana membentuk himpunan pasangan berurutan dari himpunan A ke himpunan B, menentukan persamaan fungsi, dan menentukan apakah suatu relasi merupakan korespondensi satu-satu.

Dengan mempelajari materi relasi dan fungsi, kita dapat mengembangkan kemampuan dalam memahami dan menganalisis hubungan antara berbagai himpunan. Hal ini penting dalam pemecahan masalah matematika dan aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Demikianlah penjelasan mengenai materi relasi dan fungsi. Kamu dapat mempelajarinya secara berulang-ulang supaya paham. semoga kamu dipermudah dalam belajar materi ini.

Daftar Pustaka

As’ari, Abdur Rahman dkk. 2017. Matematika kelas VIII. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.