Persamaan linear adalah materi lanjutan dari bab aljabar. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai materi ini, pernahkah kamu mendengar istilah persamaan, linear, atau keduanya?
Untuk diketahui, persamaan linear adalah bab yang akan memaparkan mengenai persamaan antara bilangan-bilangan yang terdiri dari konstanta dan variabel. Selain itu, persamaan yang dinamakan linear ini juga memiliki hubungan matematis sebab terdapat di satu titik koordinat kartesius dalam sebuah garis lurus.
Sekadar informasi, jenis persamaan linear terbagi menjadi tiga kategori, di antaranya adalah jenis satu variabel, dua variabel, dan tiga variabel. Di samping persamaan, bab kali ini juga akan membahas sedikit mengenai pertidaksamaan linier. Supaya lebih jelas, langsung saja simak materi lengkapnya di bawah ini.
Daftar Isi
Persamaan dan Pertidaksamaan
Persamaan adalah bahasa matematis yang menunjukkan bahwa suatu bilangan aljabar memiliki nilai sama dengan bilangan lain yang terdapat di antaranya. Simbol persamaan adalah sama dengan (=), contohnya adalah 2x + 5 = 15. Dari besaran tersebut, kamu bisa menafsirkan bahwa 2x ditambah 5 memiliki nilai sama dengan bilangan 15.
Secara umum, rumus dari persamaan bisa dibuat dengan bentuk aljabar seperti berikut ini: x = ay + b. Bentuk lain rumus persamaan adalah, a ≠ 0, b, c, R.
Sementara itu, pertidaksamaan adalah kebalikan dari persamaan. Namun, perlu diketahui bahwa meskipun pertidaksamaan berperan sebagai kebalikan, simbol persamaan dan pertidaksamaan memiliki jumlah yang tidak sama.
Di antara simbol pertidaksamaan adalah < (kurang dari), > (lebih dari), ≥ (lebih dari sama dengan), ≤ (kurang dari sama dengan), dan ≠ (bukan sama dengan. Untuk diketahui, terdapat beberapa sifat khusus persamaan yang penting kamu tahu. Di antaranya:
- Jika suatu nilai (m) ditambahkan pada kedua sisi, persamaan tetap berlaku pada dua bilangan yang ada.
Contohnya: y = z (jika ditambahkan m di antara keduanya, maka bilangannya menjadi y + m = z + m.
- Jika pengurangan terjadi pada dua nilai yang terdapat di dua suku, dengan nilai sama dengan m yang artinya punya nilai sama, maka persamaan tetap berlaku.
Contohnya: ab = cd (ketika dikurangi dengan nilai m, maka ab – m = cd – m.
- Jika ditambahkan nilai m dengan operasi hitung perkalian pada dua suku bilangan, maka keduanya tetap termasuk persamaan sebab nilainya jadi sama.
Contohnya: a + b × m = ab × m.
- Jika nilai koefisien dan variabel dibagi dengan bilangan m, maka berlaku aturan pembagian bilangan konstanta di sebelahnya menggunakan nilai m juga. Sehingga, nilai keduanya tetap sama meskipun dibagi dengan nilai m.
Contohnya: x : m + y = y + z : m.
Untuk lebih jelas lagi, kamu bisa mencoba menyelesaikan beberapa contoh soal persamaan linier berikut ini.
Baca juga: Menggunakan Data, Contoh Soal Serta Pembahasan
Contoh 1.
Harga tiket masuk Dunia Air Tawar dan Dunia Serangga yang ada di Taman Mini Indonesia Indah Jakarta adalah x rupiah. Sementara itu, harga tiket masuk Taman Burung adalah y dan harga tiket masuk Museum Fauna Indonesia dan Taman Reptilia adalah z. Selisih di antara x, y, dan z adalah 5.000. Jika x > y > z, kemudian z = 25.000, tuliskan beberapa persamaan dan pertidaksamaan di antaranya ….
Pembahasan
Diketahui:
1) Selisih di antara x, y, dan z adalah 5.000
2) x > y > z
3) z = 25.000
Dari informasi (3), diketahui bahwa z = 25.000. Kemudian, karena selisih antara x, y, dan z adalah 5.000, maka dapat disimpulkan bahwa x – y = 5.000 dan y – z = 5.000.
Jika persamaan-persamaan di atas digabungkan, dapat disimpulkan bahwa x – y + y – z = 5.000 + 5.000 dan x – z = 10.000.
Karena x > y > z, maka x harus lebih besar dari 25.000. Oleh karena itu, beberapa persamaan yang dapat dituliskan berdasarkan informasi ini di antaranya:
- x – z = 10.000
- y = x – 5.000
- z = 25.000
- x + y + z = 90.000
Sementara itu, pertidaksamaan linear dari kalimat matematika di atas di antaranya:
- x > y > z
- z < y < x
- x + y ≠ x + z
- x – 5000 ≠ z
Selain persamaan maupun pertidaksamaan di atas, kamu bisa menemukan lebih banyak bilangan sama maupun tidak sama dari kalimat matematika tadi.
Contoh 2.
- x – 9 = 3
- 2x = 6 + x
- 6x = 9 + 3x
Selesaikan dua persamaan di atas dan temukan berapa nilai x!
Pembahasan
- x -9 = 3 pindahkan posisi konstanta -9 agar berdekatan dengan konstanta 3. Namun, perlu dicatat bahwa setiap bilangan yang dipindah dari posisinya semula harus diubah juga tanda operasi hitungnya menjadi kebalikannya. Jadi, nilai -9 jika dipindah posisinya maka menjadi +9, sehingga:
x = 3+ 9
x = 12
- 2x = 6 + x
Maka, 2x – x = 6
2x = 6
x = 6/2
x = 3
- 6x = 9 + 3x
Maka, 6x – 3x = 9
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Penerapan Persamaan Linear
Setelah mengetahui bentuk persamaan dan juga pertidaksamaan serta cara operasi hitungnya, kamu juga perlu tahu penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Untuk diketahui, penerapan persamaan linear adalah saat di mana kalimat matematika berupa cerita perlu diubah menjadi bentuk aljabar. Kemudian, dengan pengubahan kalimat menjadi bilangan maka kamu dapat memecahkan masalah yang terdapat di cerita tersebut.
Namun, sebelum membahas lebih lanjut mengenai penerapan persamaan linear dalam kehidupan kita, kamu bisa mempelajari langkah-langkah penyelesaian soalnya terlebih dulu. Berikut di antaranya:
- Tentukan hubungan matematis antara bilangan atau besaran yang terdapat dalam soal. Kamu bisa memvisualisasikan besaran tersebut dalam bentuk diagram, tabel, hingga persamaan kata-kata.
- Ketahui mana besaran yang sudah diketahui dan belum diketahui serta tentukan persamaannya menggunakan bilangan bentuk aljabar.
- Selesaikan persamaan dan pastikan benar atau salahnya jawaban yang kamu tulis.
Supaya lebih jelas, langsung simak contoh dan pembahasan soal di bawah, yuk!
Contoh:
Harga 5 pisang goreng dan 4 gorengan adalah 7.000 rupiah. Jika harga satu pisang goreng adalah 1.000 rupiah, berapa harga 12 gorengan dan 2 pisang goreng? Buat dalam bilangan bentuk aljabar.
Baca juga: Bangun Ruang: Pengukuran Serta Contoh Soal dan Pembahasan
Pembahasan
Langkah 1. Menentukan hubungan matematis tiap-tiap besaran dalam soal.
5 pisang goreng dan 4 gorengan = 7.000 rupiah.
Langkah 2. Mengetahui besaran yang sudah diketahui dan belum diketahui. Nyatakan besaran yang belum diketahui dalam bentuk abjad.
Diketahui:
Misalkan Harga 1 pisang goreng a = 1000
Misalkan Harga 1 gorengan = b
5a – 4b = 7.000
4b= 7.000 – (5a)
4b = 7.000 – (5 x 1000)
4b = 7.000 – 5.000
4b = 2.000
b = 2000/4
b = 500 rupiah
Langkah 3. Selesaikan persamaan.
Jadi, harga satu gorengan (b) adalah 500 rupiah.
Ditanyakan: Harga 9 gorengan dan 2 pisang goreng jika dinyatakan dalam bentuk aljabar?
9b + 2a
= (9 × 500) + (2 × 1000)
= 4.500 + 2.000
= 6.500 rupiah .
Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Linear
- Selesaikan persamaan dan perbandingan di bawah ini menggunakan metode persamaan linear dari 5x – 9 = 2x + 7
Pembahasan
5x – 9 = 2x + 7
Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda bisa mendekatkan bilangan dengan bentuk sama terlebihdulu.
Sehingga, 5 x – 9 = 2x + 7
5x – 2x = 7 + 9
3x = 15
x = 15/3
x = 3
Jadi, nilai x pada persamaan di atas adalah 3.
- Bu Ratna berencana menjenguk saudaranya yang ada di kampung. Kabarnya, saudara Bu Ratna sedang sakit. Oleh karena itu, Bu Ratna memutuskan untuk membeli apel merah sebanyak 15 buah. Ternyata, tiap-tiap apel merah dibanderol dengan harga a rupiah. Di toko yang sama, Bu Ratna juga membeli dua kardus bekas dengan ukuran kecil. Niatnya, apel-apel yang dibelinya akan dimasukkan ke dalam dus supaya aman ketika dibawa. Kardus tersebut dihargai 3.000-an per satuannya. Kemudian, Bu Ratna membayar barang beliannya dengan selembar uang 50.000. Dia mendapatkan kembalian sebanyak 6.500 rupiah.
Buatlah persamaan untuk mengetahui (1) nilai a dan (2) harga total jika Bu Ratna menambah 10 apel lagi.
Pembahasan
Diketahui:
Misalkan 15 apel dan 2 kardus bekas = t
t= 50.000 – 6.500
t= 43.500
misalkan Harga kardus bekas = b
misalkan harga 1 apel = a
Harga 15 apel = t – 2b
15a = 43.500 – (3.000 × 2)
15a = 43.500 – 6.000
15a = 37.500
a = 37.500/15
a = 2.500
(1) Jadi, nilai a adalah 2.500 rupiah.
(2) Harga total jika Bu Ratna menambah apel sebanyak 10 buah lagi?
2b + 15a + 10a = 6.000 + 37.500 + (2.500 × 10)
2b + 25a = 43.500 + 25.000
2b + 25a = 68.500
Baca juga: Aljabar dalam Matematika, Menyederhankan Serta Soal dan Pembahasannya
- Usia Ditto 7 tahun lebih tua dari Arya. Sementara itu, Arya lebih muda 2 tahun dari Riska. Sabit memiliki selisih usia 5 tahun lebih tua dari Riska. Jika jumlah usia Riska dan Ditto adalah 25 tahun. Berapa usia Ditto, Riska, Arya, dan Sabit secara berturut-turut?
Pembahasan
Untuk tahu usia Ditto, Riska, Arya, dan Sabit, kamu bisa mengasumsikan bahwa usia Arya sebagai x tahun.
Berdasarkan informasi pada soal, diketahui:
(1) Usia Ditto adalah 7 tahun lebih tua dari Arya. Jadi, usia Ditto adalah (x + 7) tahun.
(2) Arya lebih muda 2 tahun dari Riska, sehingga usia Riska adalah (x + 2) tahun.
(3) Selisih usia Sabit dengan Riska adalah 5 tahun, sehingga usia Sabit adalah (x + 2 + 5) atau (x + 7) tahun.
Jika jumlah usia Riska dan Ditto adalah 25 tahun, kamu bisa menuliskan persamaan matematika sebagai berikut:
(x + 2) + (x + 7) = 25
2x + 9 = 25
2x = 25 – 9
x = 16/2
x = 8
Dengan mengetahui nilai x, kamu dapat mengetahui usia Ditto, Riska, Arya, dan Sabit dengan substitusi nilai x pada setiap persamaan yang telah dibuat sebelumnya.
(1) Usia Arya adalah x tahun = 8 tahun.
(2) Usia Ditto adalah (x + 7) tahun 15 tahun.
(3) Usia Riska adalah (x + 2) tahun, yaitu 10 tahun.
(4) Usia Sabit adalah (x + 2 + 5) atau (x + 7) tahun, yaitu 15 tahun.
Sehingga, usia Ditto, Riska, Arya, dan Sabit secara berturut-turut adalah 15 tahun, 10 tahun, 8 tahun, dan 15 tahun.
Itu dia sedikit materi, contoh soal, serta pembahasan soal mengenai persamaan linear. Semoga setelah membaca materi ini, kamu bisa makin paham mengenai persamaan dan bisa meningkatkan kemampuan berhitung di sekolah maupun di masyarakat.
Referensi:
Tim Gakko Tosho (2022). Mathematics for Junior High School 1st Level. Jakarta: Kemendikbud.
