Aljabar dalam Matematika, Menyederhankan Serta Soal dan Pembahasannya

Sudah tahukah kamu mengenai istilah aljabar? Aljabar adalah salah satu cabang ilmu matematika yang membahas seputar operasi hitung pada umumnya, tetapi dalam bentuk pemecahan masalah. Yang mana biasanya, bentuk bilangan ini berupa kalimat matematika yang dilengkapi dengan huruf.

Istilah ini berasal dari bahasa Arab, yaitu aljabar yang artinya mengumpulkan bagian-bagian yang rusak. Ditemukan pertama kali di tahun 830 Masehi oleh seorang cendekiawan sekaligus astronom asal suku Persia, yaitu Al-Khawarizmi.

Di kelas tujuh, kamu mungkin belum begitu mengenal istilah ini. Namun sebenarnya, pengaplikasian dari operasi hitung ini sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari. Untuk itu, pastikan kamu semangat dan fokus dalam mendalami materi kali ini supaya informasi yang diberikan lebih mudah dicerna dan dipahami.

Aljabar dalam Kalimat Matematika

Aljabar dalam kalimat matematika adalah jenis bilangan yang mengandung tiga unsur, yaitu koefisien, variabel, dan juga konstanta. Untuk diketahui, koefisien adalah angka atau bilangan yang biasanya berderet dengan suatu abjad dan dapat menjadi faktor untuk menghasilkan nilai tertentu.

Sementara itu, variabel adalah simbol berupa abjad yang dapat digunakan untuk menggantikan suatu nilai atau bilangan dengan jumlah belum pasti. Kemudian, konstanta adalah bilangan yang berdiri sendiri dan sudah memiliki nilai tetap.

Jenis bilangan yang termasuk koefisien, variabel, dan juga konstanta dapat kamu teliti lebih dalam di contoh berikut ini.

1. Pada persamaan 7x + 4, angka 7 mewakili bilangan koefisien, sementara x merupakan variabel, dan 4 menjadi konstanta.
2. Dalam bilangan 7x, angka 7 bukan merupakan koefisien sebab nilai ini telah ditetapkan sehingga 7 menjadi bilangan konstan atau konstanta.
3. Jumlah bulan dalam satu tahun (12) merupakan konstanta sebab merupakan nilai yang sudah pasti jumlahnya.

Untuk lebih memahami materi aljabar dalam kalimat matematika, kamu bisa memperhatikan beberapa contoh dan pembahasan di bawah ini.

Baca juga: Bangun Datar: Sifat-sifat, Melukis Garis, Sudut serta Soal dan Pembahasan

Contoh 1

Diketahui, sebuah persegi dapat dibentuk dengan lidi yang berjumlah 4 buah. Jika kamu ingin membuat bangun datar baru dengan bentuk sama di sebelah bangun datar sebelumnya, jumlah lidi yang perlu ditambahkan adalah 3 buah Sinta (2022). Seterusnya, kamu juga bisa menambahkan lidi dengan jumlah sama untuk membuat lebih banyak persegi. Dari kalimat matematika ini, dapat dibuat dua bentuk rumus, di antaranya adalah sebagai berikut.

Bentuk aljabar ke 1

1 + 3 × x

Pembahasan: 1 + 3 merupakan jumlah lidi untuk satu buah persegi. Kenapa tidak dibuat dalam angka 4 padahal satu persegi berisi 4 lidi? Alasannya, tiap persegi baru yang dibuat hanya membutuhkan 3 lidi tambahan. Sementara itu, x adalah nilai variabel yang dapat diganti-ganti angkanya.

Contoh soal: Jika Lani membuat satu buah jajar genjang dengan 4 buah lidi maka jumlah lidi yang dibutuhkannya untuk membuat 70 jajar genjang adalah ….

Untuk menjawabnya, kamu perlu mengubah kalimat matematika tersebut ke dalam rumus terlebih dulu. Yakni, dengan mengubah nilai x sebelumnya menjadi angka 70. Sehingga, bentuk aljabar untuk contoh soal di atas adalah 1 + 3 × 70.

Bentuk aljabar  ke 2

4 + 3 × (x – 1)

Pembahasan: Di sini, angka 4 merupakan jumlah lidi pada persegi pertama, kemudian angka 3 menjadi jumlah lidi di persegi berikutnya. Sementara itu, simbol x – 1 merupakan banyaknya bangun datar persegi yang ingin dibuat dengan lidi tambahan berjumlah 4 – 1.

Dengan cara kedua ini, kamu juga bisa memecahkan masalah di atas dengan hasil yang diperoleh dipastikan sama. Sebagai contoh, kamu bisa melihat kembali pada kasus Lani. Untuk menjawab kasus tersebut dengan rumus kedua, kamu bisa menulis formula seperti berikut: 4 + 3 × (70 – 1).

Contoh 2

Buat kalimat matematika berikut ini menjadi bentuk aljabar. 

1. Banyaknya pensil dalam satu kardus adalah y. Sementara itu, Lani membeli 4 kardus pensil dan pensil yang dibeli dulu masih tersisa 4 buah.

Pembahasan

Diketahui:

Satu kardus pensil: y

Banyaknya pensil yang dibeli Lani: 4 kardus

Pensil lama Lani: 4 buah

Ditanya: Bentuk aljabar dari kalimat matematika di atas?

Jawaban: (y × 4) + 4 = 4y + 4

2. Jika satu kardus berisi 12 buah, berapa jumlah pensil yang dimiliki Lani saat ini?

Untuk menjawab soal kedua, kamu bisa gunakan formula yang sudah dihasilkan sebelumnya. Yaitu:

4y + 4

=4 . 12 + 4

= 52

Jadi, pensil Lani secara keseluruhan kini berjumlah 52 buah.

Baca juga: Menggunakan Data, Contoh Soal Serta Pembahasan

Menyederhanakan Bentuk Aljabar

Pada satu kasus tertentu, kamu mungkin menemukan masalah yang terkesan rumit sehingga terasa sulit dipecahkan. Namun, dengan proses menyederhanakan bentuk aljabar, kamu dipastikan mampu memecahkan masalah tersebut secara lebih cepat dengan hasil yang akurat. Pasalnya, bentuk kalimat matematika yang awalnya tampak sulit dapat disederhanakan dengan operasi hitung aljabar.

Sebagaimana sempat disinggung sebelumnya, bentuk aljabar identik dengan koefisien, konstanta, dan variabel. Jika kamu belum mengetahui mana saja yang dimaksud dengan istilah-istilah tersebut, kamu bisa memperhatikan kembali bentuk aljabar di bawah ini.

2x + y + 5

Dari contoh bentuk aljabar di atas, dapat disimpulkan bahwa angka 2 yang berdekatan dengan abjad x adalah koefisien. Sementara itu, x dan y pada bentuk aljabar di atas merupakan variabel. Terakhir, angka 5 dalam bentuk aljabar di atas adalah konstanta.

Sebelum mengenal lebih jau mari kita ketahui dahulu dasar-dasar yang menjadi pemahaman utama kita di materi aljabar ini.

1. Koefisien

Koefisien adalah istilah untuk menyebut angka yang berdekatan dengan suatu huruf pengganti bilangan tertentu (variabel). Nilai koefisien bukanlah nilai sebenarnya. Pasalnya, kamu bisa mengubah nilai tersebut menjadi nilai sebenarnya jika sudah mengetahui angka yang dimaksud dalam variabel.

2. Variabel

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, variabel adalah bentuk huruf atau abjad yang terdapat dalam operasi hitung matematika. Variabel bisa ditulis bersamaan dengan angka tertentu ataupun berdiri sendiri seperti x saja atau y saja. Pasalnya, abjad tersebut bisa menggantikan sebuah angka tertentu, baik yang nilainya kecil maupun besar.

3. Konstanta

Yang dimaksud konstanta adalah angka yang sudah memiliki bilangan pasti. Contohnya, 1, 2, 3, dan seterusnya tanpa dilengkapi huruf pengganti angka atau variabel.

Selanjutnya kita menuju ke Langkah-langkah menyerdahankan  atau operasi dari Aljabar

Operasi Hitung Aljabar

Operasi hitung aljabar adalah bentuk aritmetika yang melibatkan variabel di dalamnya. Sebagai informasi, operasi hitung aljabar ini bisa berbentuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, maupun operasi hitung campuran.

Sebagai contoh, pahami contoh soal berikut ini.

Jika x adalah 10, selesaikanlah beberapa operasi hitung di bawah ini.

1. 2x + 1 → ini merupakan contoh operasi hitung aljabar dalam bentuk penjumlahan. Jadi, untuk menyelesaikannya, kamu bisa menerapkan angka 10 di variabel x sehingga operasi hitungnya jadi seperti ini: 2x + 1 = 2 . 10 + 1 = 21.
2. 5x – 3 → ini merupakan contoh operasi hitung aljabar dalam bentuk pengurangan. Sehingga, untuk menyelesaikannya, cukup ganti variabel x dengan angka 10 dan kalikan dengan angka 5. Jadi: 5x – 3 =  5 . 10 – 3 = 27.
3. 3x x 3 → ini merupakan contoh operasi hitung aljabar dalam bentuk perkalian. Oleh karena itu, penyelesaian soalnya bisa dengan memasukkan angka 10 dan menghilangkan variabel x di posisi sama. Lebih jelasnya, jadi: 3x x 3 = 3 . 10 x 3 = 90.
4. 4x : 5 → ini merupakan contoh operasi hitung aljabar dalam bentuk pembagian. Untuk menyelesaikan operasi hitung tersebut, ganti variabel x dengan angka yang sudah diinstruksikan di soal. Jadi: 4x : 5 = 4 . 10 : 5 = 8.
5. 6x + 12 – 7x  x 6x : 6 → karena ini merupakan bentuk operasi hitung aljabar dalam bentuk ampuran, kamu perlu menjumlahkan nilai yang lebih kuat terlebih dulu. Dalam matematika, perkalian dan pembagian lebih kuat dibandingkan penjumlahan dan pengurangan. Sehingga, penyelesaian soal di atas bisa dengan cara berikut:

6x + 12 – 7x  x 6x : 5  = 6x + 12 – (7x x 6x) : 6 → 7 x 6 x x = 42x²

= 6x + 12 – 42x : 6 → karena operasi hitung pembagian di sini tidak sejenis (di mana salah satunya adalah bentuk koefisien sementara yang lainnya adalah konstanta) maka kamu perlu mengelompokkan bilangan-bilangan tersebut lebih dulu. Jadi,

= 6x – 42x² + 12 : 6 → selanjutnya, barulah kamu bisa menghitung pembagian dalam operasi hitung ini.

= 6x – 42x² + 2

Cara Mudah Memahami Aljabar

Jika dari contoh operasi hitung di atas kamu masih belum juga paham mengenai aljabar ini, perhatikan cara mudah memahami aljabar di bawah ini:

1. Hal pertama yang penting kamu lakukan adalah memahami bentuk aljabar itu sendiri. Untuk ini, kamu bisa mengingat anggota bilangan yang terdapat dalam aljabar, seperti variabel, konstanta, dan juga koefisien. Kemudian, tentukan mana yang termasuk dalam tiap-tiap anggota bilangan tersebut.
2. Kedua, pastikan untuk memahami kedudukan tiap-tiap bilangan dalam aljabar. Entah itu bilangan sebenarnya maupun bilangan berbentuk variabel.
3. Pahami operasi hitung bilangan, baik itu penjumlahan, pengurangan, perkalian, maupun pembagian atau bahkan operasi hitung campuran.

Cara Menyederhanakan Aljabar

Untuk menyederhanakan bentuk aljabar, kamu bisa membuat kalimat matematika dari sebuah masalah dengan mengingat beberapa hal berikut ini.

1. Penulisan operasi hitung perkalian antara bentuk konstanta dan variabel tidak memerlukan tanda kali (×). Contoh: Jika satu buah apel dibanderol dengan harga x rupiah maka 12 apel bisa ditulis menjadi 12x, bukan 12 × x.
2. Jika terdapat suatu abjad yang dikalikan dengan nilai tertentu, seperti xy × 9, hasilnya bukan xy9 melainkan 9xy.
3. Ketika dua bilangan dalam bentuk huruf memiliki nilai sama, kamu bisa menyingkatnya sehingga menjadi bentuk perpangkatan atau eksponen. Contohnya, ab × ab = ab².
4. Bentuk pembagian dalam operasi hitung yang banyak digunakan di bidang sains hingga sistem informasi ini tidak dibuat dengan kalimat berderet seperti 1 : 2. Namun, bilangan pembagian ini dibuat dalam bentuk pecahan, seperti ½, 8 ¾, dan lain sebagainya.

Baca juga: Bangun Ruang: Pengukuran Serta Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Penyederhanaan Aljabar

Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal mengenai aljabar berikut ini.

1. 7x + 4 – 2 + 5x

Untuk menjawab soal ini, kamu bisa menggabungkan beberapa angka yang sifatnya sama. Sehingga, dapat dihasilkan angka seperti berikut.

= 7x + (4 – 2) + 5x

= 7x + 2 + 5x

= 12x + 2 atau 2(6x + 1)

Jadi, bentuk sederhana dari 7x + 4 – 2 + 5x adalah 12x + 2.

2. 9a – 8a

Contoh soal di atas apakah sudah sederhana? Jika menjawab belum, artinya sampai sini kamu sudah cukup paham mengenai aljabar. Untuk diketahui, soal di atas bisa dikatakan belum sederhana sebab tiap-tiap bilangan memiliki variabel yang sama. Yang artinya, kamu bisa menjumlahkan nilainya terlebih dulu.

Sehingga: 9a – 8a = (9 – 8)a = a (Untuk menulis 1a, kamu bisa menghilangkan angka 1 sebab meskipun tidak ditulis, nilainya tetap sama)

3. (8n + 6m – 4) + (m – 2 + 2n)

Untuk menjawab soal seperti di atas, kamu bisa mengalikan dua nilai dengan bentuk sama terlebih dulu. Selain itu, pastikan untuk tidak lupa mengalikan dua tanda yang ada di depan tiap-tiap bilangan tersebut.

Jadi, (8n + 6m – 4) + (m – 2 + 2n)

= (8n + 2n) + (6m + m) + (4 + 2)

= 10n + 7m + 6

Contoh Soal dan Pembahasan Tentang Aljabar

Guna memaksimalkan pemahaman kamu mengenai aljabar, cobalah untuk menjawab beberapa soal di bawah ini. Kemudian, bandingkan dengan pembahasan yang akan diulas setelahnya.

1. Andi membeli 5 buah apel dengan harga tiap-tiapnya adalah a rupiah. Kemudian, dia membeli lagi 2 buah apel dengan harga b rupiah. Tentukan banyaknya uang yang dikeluarkan Andi dalam bentuk aljabar!

Pembahasan

5 apel: a rupiah × 5 = 5a

2 apel: b rupiah × 2 = 2b

Jadi, besaran dalam aljabar untuk kalimat matematika di atas adalah 5a + 2b.

2. sinta membeli apel sebanyak 8 kligram. Harga 1 kg adalah Rp10.000. Lalu ia membeli jeruk sebanyak 25 kg. harga jeruk per kg adalah Rp15.000. Buat bentuk aljabar yang menyatakan barang yang dibeli Sinta dan berapa yang hrus dibayar sinta?

Pembahasan

Diketahui:

8 kg apel

5 kg jeruk

Harga 1 kg apel Rp10.000

Harga 1 kg jeruk Rp15.000

Ditanya:

1. Bentuk aljabar?
2. Jumlah uang yang harus dibayar Sinta?

Jawab:

Misalkan, Harga 1 kg Apel = a dan Harga 1 kg Jeruk = b

Betuk ajbar adalah: 8a + 5b

Jumlah uang = 8 (10.000) + 8 (15.000)

= 80.000+120.000

=200.000

Jadi uang yang harus dibayar sinta adalah Rp120.000

3. Dalam rangka memperingati HUT Kemerdekaan RI, sekolah mengadakan perlombaan. Sebanyak 5 siswa mendapatkan pensil dengan jumlah masing-masing 5x. Sementara itu, 2 siswi mendapatkan pensil dengan masing-masing 2x saja. Bukan hanya pensil, ternyata sekolah juga memberikan hadiah berupa buku sebanyak 12y yang dibagi rata pada 12 siswi dan 4y untuk 2 siswa.

Nyatakan besaran di atas dengan bentuk aljabar kemudian sederhanakan!

Pembahasan

Diketahui:

x: pensil

y: buku

5 siswa mendapatkan pensil dengan jumlah masing-masing 5x = 5 × 5x

2 siswi mendapatkan pensil dengan jumlah masing-masing 2x = 2 × 2x

12 siswi diberi buku 12y dengan jumlah rata = 12y/12

2 siswa mendapatkan buku 4y = 4y/2

Untuk membuat bentuk aljabar, kamu bisa membuat ekspresi matematika dari bilangan-bilangan di atas.

(5 . 5x) + (2 . 2x) + (12y/12) + (4y/2)

= 25x + (2 × 2x) + (12y/12) + (4y/2)

= 25x + 4x + (12y/12) + (4y/2)

= 29x + y + (4y/2)

= 29x + y + 2y

= 29x + 3y

Itu dia contoh soal dan pembahasan mengenai aljabar. Semoga dengan adanya artikel ini, kamu bisa lebih memahami materi mengenai aljabar dan makin bersemangat mempelajari matematika.

Referensi:

Tim Gakko Tosho (2022). Mathematics for Junior High School 1st Level. Jakarta: Kemendikbud.